Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Устойчивость верхнего положения равновесия 20.2
Рассмотрим теперь неподвижную точку р = q = 0 отображения Te из § 19. При є = 0 отображение Te =T эллиптично в нуле; действительно, линейная часть отображения T представляет собой эллиптический поворот на угол А = шт = 27Г^. Следовательно, при достаточно малом є отображение Te также эллиптично при А ф ктг (к = 1, 2, ...). Иначе говоря, устойчивость может изменяться только при
(20.3)
Несложные вычисления показывают, что при этих значениях (называемых значениями «параметрического резонанса», см. приложение 29) отображение Te действительно гиперболично в точке р = q = 0. Иначе говоря, положение свободного равновесия качелей становится неустойчивым (а качели начинают колебаться), если приседать во время целого числа полупериодов собственных колебаний. Этот вывод эмпирически хорошо известен5.
БВпрочем, заметим, что амплитуда колебаний системы (19.4) остается малой при достаточно малом є, поскольку, по теореме 19.20 траектория пролегает между кривыми Г?. Это объясняется нелинейным характером системы: частота А зависит от амплитуды, колебания не успевают усиливаться, и условие (20.3) более не выполняется. 88 Глава 4
Рис. 20.4
Неподвижные точки итераций отображения Te: существование 20.5
Рассмотрим теперь неподвижные точки отображения Te . Пусть Г — инвариантная кривая отображения T, образованная неподвижными точками отображений Tn (см. §19). Пусть
X(I) = §^0.
п-кратная итерация отображения T возвращает каждую точку Г в первоначальное положение. Это свойство отображения T пропадает при наложении малого возмущения (Т —»¦ Te). Но, как было показано Пуанкаре, при достаточно малом є отображение Т™ имеет 2кп неподвижных точек вблизи кривой Г. Действительно, рассмотрим две кривые, инвариантные относительно T и близкие к Г: кривые Г+ и Г- с углами поворота A+ > А > А" (см. рис. 20.6). Следовательно, отображение Tn поворачивает кривую Г+ в положительном направлении, а кривую Г- — в отрицательном.
В результате это свойство сохраняется для Т" при достаточно малом є. Следовательно, на каждом радиусе tp = const существует точка r(tp, є), которая под действием отображения Te смещается по ради-УСУ:
<р(Т?г(<р, є)) = ip.
Кроме того, при достаточно малом є точки r(tp, є) образуют замкнутую аналитическую кривую Re, близкую к Г. Напомним, что отображение Г™ — каноническое, следовательно, оно сохраняет площадь. Это 20. Неподвижные точки периодических движений
89
Рис. 20.С
означает, что образ Т" кривой Re не может находиться ни внутри, ни снаружи кривой Re. Следовательно, TeRe пересекает кривую Re (см. рис. 20.7). Но поскольку Т'е смещает каждую точку кривой Rs по радиусу ip = const, точки пересечения Re и TsRs являются неподвижными точками отображения Т™. Таким образом, существование неподвижных точек отображения Te1 в окрестности кривой Г доказано.
Рис. 20.7 90
Глава 4
Неподвижные точки итераций отображения Тех классификация 20.8
Рассмотрим теперь характер этих неподвижных точек: выясним, являются ли они эллиптическими или гиперболическими. При є = 0 все эти неподвижные точки параболические и соответствуют собственным значениям Аі2 = 1. Следовательно, при достаточно малом є выполняется Ліг ~ 1 и гиперболический случай с отражением невозможен.
С другой стороны, рассмотрим «радиальное смещение»
Д(^) = і{тм<р)) - ІШ)-
В неподвижных точках отображения T"' функция Д(у?) имеет нули. В общем случае эти пули простые (Д' = dA/dtp ф 0). Таким образом, нули, в которых Д' > 0, чередуются с другими нулями, в которых Д' < 0. Следовательно, число неподвижных точек четно.
Рассмотрим теперь векторное поле, образованное в окрестности кривой Г векторами с началом в точке х и концом в точке Teх (см. рис. 20.7). Нетрудно видеть (рис. 20.7), что индекс (приложение 27) этого поля в неподвижных точках определяется по формуле
Следовательно, одна половина неподвижных точек имеет индекс + 1, а другая — индекс —1. Это означает, что одну половину составляют эллиптические неподвижные точки, а другую — гиперболические неподвижные точки (индекс эллиптической точки равен +1, индекс гиперболической точки равен —1). Эллиптические и гиперболические неподвижные точки иллюстрируются па рис. 20.7.
Рассмотрим теперь эллиптическую неподвижную точку Te х = х. Траектория этой точки состоит из точек х, Te х, Te х, ..., Т™-1х. Следовательно,
<р(Т1ех)ъ<р(х)+2ж1^.
Таким образом, все эти точки являются неподвижными точками отображения Te X и эллиптичны (все они имеют те ?ке собственные значения, что и точка ж). Это означает, что множество всех эллиптических неподвижных точек разделяется па орбиты, каждая из которых состоит из п точек. Пусть к число таких орбит; тогда число эллиптических точек равно кп, а общее число неподвижных точек, как и было отмечено в § 20.5, равно 2кп. § 20. Неподвижные точки периодических движений
91
Зоны неустойчивости 20.9
Рассмотрим теперь окрестности найденных выше эллиптических и гиперболических точек. Следуя В.И.Арнольду [7], каждая эллиптическая точка «общего» типа (см. также приложение 28) окружена замкнутыми кривыми, инвариантными относительно Т". Эти кривые образуют «островки» (см. рис6. 20.10). Каждый островок в миниатюре воспроизводит всю структуру в целом — с кривыми Г^., островками внутри этих кривых и т. д.
