Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что функция Н(р) аналитична в комплексной окрестности [Ji] фазового пространства Г2 (Rep, Reg Є Г2, |Imp < р, I Im у < p), а также что невозмущенная система невырождена:
(let
dijJp dp
= «let
Q2H0 dp2
фо.
(21.6)
Выберем вектор несоизмеримых14 частот и> = и>*. Пусть То(и>*) инвариантный тор невозмущенной системы (21.3), имеющий уравнение р = р*, где сйо(р*) = to*. Тогда система (21.3) имеет на торе Tq(u)*) частоты и>*.
Теорема 21.7. Если возмущение H1 достаточно мало, тогда при почти любом15 из* существует инвариантный тор Т(иі*) возмущенной системы (21.5), и mopT(uj*) близок кТ0(и>*).
14T. е. (а>, к) ф О для всех целых к.
15 За исключением множества лебеговой меры нуль. 96
Глава 4
Более точно: при любом а > 0 существует є > 0 и отображение р = p(Q), q = q(Q) абстрактного тора T = {Q (mod 27г)} в T(w*) такое, что в силу гамильтоновых уравнений (21.5)
Q = w*
и
\p(Q)-р* І <є, \q(Q) - Q\ < є при условии, что в [О]
|Яі| < S = е(а, W*, H0, П, р), є > 0.
Кроме того, торы T(w)* образуют множество положительной меры; мера дополнения к этому множеству стремится к нулю вместе С |Hl|. Доказательство теоремы 21.7 можно найти в работе Арнольда [5].
Поведение траекторий в этом дополнении до сих пор недостаточно изучено. Для систем с двумя степенями свободы (п = 2) фазовое пространство П четырехмерно. Инвариантная гиперповерхность Zf = Const, имеющая размерность, равную 3, разделена на инвариантные торы возмущенной системы. Дополнительные области образуют торические кольца между инвариантными торами (см. рис. 19.21). При п > 2 инвариантные n-мерные торы не разделяют гиперповерхность H = const размерности 2п — 1, а траектории, не лежащие на торах T(w*), могут продолжаться весьма далеко вдоль поверхности H = h (см. §23).
С) Приложения и обобщения 21.8
Теорема 21.7 применима к движению свободной точки по геодезической на поверхностях, близких к поверхностям вращения или эллипсоидам. Эта теорема позволяет доказать устойчивость «планетоида» в ограниченной плоской круговой задаче трех тел16. Из нее можно также вывести устойчивость быстрых вращений тяжелого несимметричного твердого тела17.
Но эта теорема неприменима в том случае, если возмущенная система несет больше частот, чем невозмущенная (вырожденный случай), поскольку при этом не выполняется условие (21.6):
det^O.
др
16A. Н. Колмогоров [7].
17B. И.Арнольд [5]. § 21. Инвариантные торы и квазипериодические движения 97
Случай «предельного вырождения», который встречается в теории колебаний (точки равновесия, периодические движения) также требует особого рассмотрения. Укажем несколько результатов в этом направлении, обобщающих теорему 21.7. В.И.Арнольд [7] доказал !устойчивость положений равновесия и периодических движений систем с двумя степенями свободы для общего эллиптического случая. В качестве следствия А. М. Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел (плоской и круговой).
Образование новых частот после возмущения вырожденных систем исследовано в работах В.И.Арнольда [8], [9], [10]. В качестве следствия доказана вечная адиабатическая инвариантность действия при — ос < t < ос в нелинейных системах с одной степенью свободы, параметры которых изменяются периодически, а также что «магнитная ловушка» с осесимметричным магнитным полем может бесконечно долго удерживать заряженные частицы.
Наконец, в задаче п тел получено множество квазипериодических движений положительной меры для случая, когда массы п—1 тел достаточно малы по сравнению с массой «центрального тела». Эти квазипериодические движения имеют «планетарный» характер: эксцентриситеты и наклонения кеплеровских (оскулирующих) эллипсов малы, и длины больших всегда остаются близкими к своим начальным значениям (см. В.И.Арнольд [4]).
С другой стороны, Ю. Мозер предложил обобщение теоремы 21.7. Мозер доказал, что требование об аналитичности в теореме 21.7 не обязательно: достаточно предположить существование конечного числа производных. Например, для системы с двумя степенями свободы достаточно, чтобы гамильтониан H был дифференцируем 333 раза!
D) Инвариантные торы канонических отображений 21.9
Теорему 21.7 можно сформулировать иначе, если воспользоваться «поверхностями сечения» Пуанкаре-Биркгофа. Предположим, что в (23.1) первая компонента вектора и> отлична от нуля: Oj1 ф 0. Рассмотрим подмногообразие ?2'1-2 фазового пространства 02п, заданное уравнениями
= 0, H = h = const.
Пусть X — точка подмногообразия S2n-2, x(t) — траектория га-мильтоновой системы (21.5), выходящая из х. Обозначим через Аж 98
Глава 4
первую точку пересечения орбиты x(t) с E2n-2 при возрастании t от нуля (см. рис. 19.21). Отображение A: S2"-2 —E2п~2 вполне определено в окрестности тора размерности п — 1, заданного уравнениями р = const, q = 0 при u>i (р) / 0 и при достаточно малом возмущении Hi. Из того, что
следует, ЧТО B ЭТОЙ окрестности переменные Р2....,Рп', q2 ¦>¦¦¦¦> Qn (mod 2тт) являются координатами действие-угол. Отображение А — каноническое (см. приложение 31). Рассмотрим теперь невозмущенный случай (Hi = 0). В силу (21.3) отображение А можно представить в виде
