Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 32

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 67 >> Следующая


Рассмотрим группу S Diff (@) диффеоморфизмов компактной ри-мановой области сохраняющих меру. Соответствующая алгебра состоит из векторных полей V на удовлетворяющих условию div V = 0.

деленную квадратичную форму для данного векторного поля и определяет некоторую правоинвариантную римановую метрику на группе S Diff(S).

Геодезические, соответствующие этой метрике, образуют идеальный (несжимаемый и невязкий) поток на Можно вычислить рима-нову кривизну данного бесконечномерного «многообразия» S Diff(@). Например, если @ = T2 — тор {х, у (mod 27г)} с обычной мерой, то для любого сечения, содержащего ламинарный поток вида

Энергия (У, V)

представляет собой положительно опре-

Vx = cos у, Vy = 0,

кривизна неположительна.

См. также: В.И.Арнольд [1] и Л.Ауслендер, Л.Грин и Ф.Хан (L.Auslander, L.Green, F.Hahn [1]). Приложение 5 Простой маятник

(См. 1.13, гл. 1)

Уравнение движения маятника имеет вид q + fcsin q = 0, где к — положительная постоянная. Оно эквивалентно системе

Г Ч = P,

\ р = —ksiiiq.

Рис. П5.1

V

Гамильтониан имеет вид H = — к cos q, фазовые траектории изображены на рис. П5.1. Система инвариантна относительно зеркального отражения относительно оси Oq и преобразований

(q,p)->(q + 2Kir,p), КеЪ.

Точки (кж, 0) — особые: точки (2пк, 0) — центры (устойчивое равновесие), точки ((2к + 1)7г, 0) седла (неустойчивое равновесие). Простой маятник

121

Существуют три типа траекторий: траектории 1 (малые колебания), сепаратиса 2, соединяющая два седла, траектории 3 (полные обороты вокруг точки подвеса).

Естественным фазовым пространством служит пс плоскость (р, q), а цилиндр (q (mod 27г), р). Таким образом, простой маятник — глобальная гамильтонова система. Приложение б Измеримые пространства

(См. §2, гл. 1)

гт-алгеброй ,*? на множестве M называется семейство содержащихся в M подмножеств, замкнутое относительно операций взятия счетного объединения и перехода к дополнению. Счетно аддитивное множество функций р на Sk с неотрицательными значениями (возможно, бесконечными) называется мерой. Пусть Af Є SS, {Аі}і^і — счетное множество, Ai П Aj = 0, если г ф j. Тогда

Набор (M, /;,), или проще (M, /і), называется измеримым пространством; SS — семейство измеримых множеств, /і — мера (относительно всех этих понятий см. Халмош (Haimos [2]) и Рохлин [3]).

Придадим смысл выражению «с точностью до множества меры нуль». Пусть А,В Є 38. Обозначим через A=B (mod 0), если р((А U В) \ (А П і?)) =0. Это отношение есть отношение эквивалентности. Класс 0 есть класс множеств меры пуль. Фактор-множество обозначим !'M (mod 0) — это алгебра Буля, поскольку, если

Если A = B (mod 0), то ц(А) = Ii(B), следовательно, /1 можно рассматривать как функцию на SS (mod 0).

При исследовании абстрактных динамических систем множества меры пуль рассматриваются как пренебрежимо малые. Это означает, что изучение набора (M, 'Ж, /і) заменяется исследованием набора (M, SS (mod 0), fi), который мы нестрого будем обозначать (M, fi),

A1, A2, B1, B2 Є .*?, A1=A2 (mod 0), B1=B2 (mod 0),

то

AiUSi=A2UjB2 (mod 0), A1 П B1 = A2 П B2 (mod 0), M \A1 = M \ A2 (mod 0). Измеримые пространства

123

поскольку функция ? полностью определяет (mod 0) (но не 88). S3 (mod 0) называется измеримой сг-алгеброй на (М, ?).

Пусть (М, ?) и (M', ?') два измеримых пространства. Гомоморфизм (измеримых пространств) ip\ M —» M' есть сюръекция, сохраняющая меру.

Из А' Є SS' следует, что

Ip-1IA') Є M и Hiip-1A') = ?'(A'). (П6.1)

Таким образом, ip индуцирует гомоморфизм : ,?' —> Ш измеримых алгебр. Если M = M', то ip называется эндоморфизмом. Если ip — биекция M на M', то ip называется изоморфизмом; если, кроме того, M = M', то ip называется автоморфизмом.

Пусть (M, //,), (M', //) — два измеримых пространства. Говорят, что отображение ip: M —» M' — гомоморфизм по модулю нуль, если:

a) ip определен на всем М, за исключением, может быть, множества I меры нуль;

b) <р(М \ I) отличается от M' лишь на множестве меры нуль;

c) ip сохраняет меру (по формуле (П6.1)).

Если (M, ?) = (M'. ?'), то tp называется эндоморфизмом (mod 0). Если отображения ip и ір~г являются гомоморфизмами (mod 0), то ip называется изоморфизмом (mod 0); если при этом совпадают (M, ?) и (M', ?'), то ip — автоморфизм (mod 0). Приложение 7 Изоморфизм преобразования пекаря и схемы Берцулли Щ1, і)

(См. пример 4.5, гл. 1)

/ /-1 Г1 f

Речь идет о построении изоморфизма / (mod 0) такого, что следующая диаграмма должнг^.быть коммутативной

Определение /. Пусть те = ... , о,_і, «о, «і, ... — точка на Zf. Положим /(ш) = (х.у), где

OO OO

* = * = (П7.1)

j=o (=1

Отображение / взаимно однозначно, за исключением тех элементов (х, у) Є Г2, у которых ж или у — двоичная дробь. Такие элементы образуют счетное множество. Следовательно, их мера равна нулю.

/ сохраняет меру. Достаточно рассмотреть A3i = {те | a,i = j} в качестве образующих измеримой алгебры в Z2. Множество

/<4> = { I « = '}

состоит из 2ІгІ прямоугольников длиной 1 и шириной |+1 . Следовательно, ^
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed