Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
/ т\ , OH1 tp = W(I) + є
I=-є
OI ' OH1
dtp ' где
H = Hn + є Hi, U=^p 106
Глава 4
Усредненную систему можно записать в виде J = 0, так как
л 1 / СдНгіІ.ю)
= = 0.
Иначе говоря, в невырожденных гамильтоновых системах эволюции переменных действия не происходит.
Этот вывод может быть строго потвержден теоремой о сохранении квазипериодических движений (21.7). Из этой теоремы также следует, что
II(t) — J(t) I < а при любом — оо < t < +оо, е < So(а) (при всех начальных условиях в случае п = 2 и при
Zd2H0 dH0\
det
dl2 dl dHо a' і
ф о
для большей части начальных условий в общем случае). Теперь становится ясной роль условий сохранения в теореме (21.7): они препятствуют эволюции21. Точно также в теореме (21.11) эволюция невозможна в связи с тем, что отображение является глобальным каноническим.
С другой стороны, понятна также роль условия невырожденности. Действительно, в случае вырождения орбита общего положения невозмущенной системы эргодична на торе меньшей размерности к < п, но не на торе размерности п. Алгоритм теории возмущений позволяет в этом случае предсказать усреднение на торе размерности к. Но тогда эволюция становится возможной и для канонических систем.
21Простой пример возмущения центра (см. рис. 22.13) X = у + El, \ X = у,
у — —X + Є2, І У — —X — Ey
уже показывает особый характер канонических систем: в первом случае (канонические) возмущения смещают орбиты в направлении, ортогональном возмущению, не вызывая эволюции; во втором случае (неканоническое) возмущение вызывает эволюцию к нулю. Примеры эволюции можно было бы построить в четырехмерном пространстве для систем, сохраняющих элемент обьема:
X = У, У = —X — Ey, І = U, й = -Z + Ell. § 22. Теория возмущений
107
У
I Го
-X \ \ Iv Jjj ос
Рис. 22.13
Пример 22.14. Рассмотрим гамильтоиову систему
H = Ha+ єHi(I1, ....Іп,(рі,..., <рп), І Є Br' tp є Tn = {(<рі, ... , <рп) (mod 2тг)>,
O2H0
Ha — На(Іі, ..., Ik),
OI2
?0.
Эта система имеет вид (22.3) с к < п, І = 2п — к, а усредненная система представима в виде
'J0=O, J0 = (Л, ..., Jk)-, Po = (<рі, ..., <Рк) (mod 2тг), •I = (Jk+1, • • • j Jn),
j = -є9-/11
ф = Є
дф '
дНі OJ '
Ф = (Фк+1, ¦¦¦, фп) (mod 2тг),
где
Hi(J0, J, ф) =
(2тг)*
Hi(Ja, J: іро, ф) dp0.
Если полученная таким образом усредненная система интегрируема (как, например, в плоской задаче трех тел) или близка к интегрируемой (как, например, в планетном варианте задаче п тел), то можно доказать22 существование соответствующих квазипериодических решений исходной системы. Эти квазипериодические движения обладают к «быстрыми» частотами (u>i, ..., и>к) ~ 1, происходящими от псвозмущсппой системы, и I = п — к «медленными» частотами (шк-1-і, • •., шп) ~ S, происходящими от усредненной системы.
22Cm. В.И.Арнольд [10]. [4]. 108
Глава 4
В общем случае, когда усредненная система нсиптегрирусма, о связи между решениями возмущенной и усредненной задач известно мало даже при 0 < t < l/є. Единственные результаты, которые известны, получены в рамках подходов 2 и 3 из (22.8).
«Заметим еще, что даже в случае невырожденной системы остается еще исследовать движения в «зонах неустойчивости» (дополнении к инвариантным торам) в случае п > 2 и по крайней мере при t ~ Ife или t ~ Ifern. Возможно, в этих зонах существуют23 инвариантные (п — 1)-мерные торы «эллиптического» и «гиперболического» типа (обобщение на случай произвольной размерности периодических движений из §20). Напомним, что при п > 2 инвариантные торы размерности п не делят гиперповерхность энергии H = h размерности 2п — 1. Следовательно, «сепаратрисы» указанных «гиперболических» торов могут уходить очень далеко по этой гиперповерхности, вызывая неустойчивость системы. Аналогичный механизм неустойчивости исследуется в следующем разделе.
§ 23. Топологическая неустойчивость и усатые торы
Приведем теперь пример24 гамильтоновых систем, удовлетворяющих условиям теорем (21.7) и (21.11), но топологически неустойчивых: величина II(t) — J(t) I неограничена при —сю < t < ос. По теоремам 21.7 и 21.11 такая система устойчива при большей части начальных условий (соответствующие движения квазипериодичны). Вековой уход истинного решения I(t) есть величина порядка схр(—\f-Je), следовательно, неустойчивость не появляется ни в каком порядке теории возмущений.
Прежде всего введем несколько определений.
А) Усатые торы 23.1
Пусть T — инвариантный тор в фазовом пространстве динамической системы. Предложим, что движение системы квазипериодично на T и траектории всюду плотны на Т. Мы говорим, что T — усатый
^Соответствующую мотивацию можно найти у В.И.Арнольда [14]. Как только эта работа была написана, доказательства были даны В. К. Мельниковым [2], Ю.Мозером [5] и Г. А. Красинским [1].
24Пример (23.10) достаточно искусственен. Однако нечто подобное механизму цепей усатых торов, вызывающему неустойчивость, может встречаться и в общих задачах (например, в задаче трех тел). § 23. Топологическая неустойчивость и усатые торы
