Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
§ 17. Эргодические свойства У-систем
В этом параграфе мы будем изучать У-системы, которые обладают положительной и инвариантной мерой //,. Поэтому, в отличие от предыдущего параграфа, мы ограничимся рассмотрением классических динамических систем (см. определение 1.1).
Начнем с изучения эргодических свойств автоморфизма тора из примера 13.1. Пусть M — тор {(х, у) (mod 1)}, снабженный мерой dfi = dxd/y, tp — автоморфизм:
Теорема 17.1. (М, /х, (р) есть К-система (см. определение 11.1).
Для того, чтобы доказать теорему, построим подалгебру 21 алгебры 1.
Подалгебра 21 17.2
В плоскости (х, у) матрица
обладает двумя действительными положительными собственными значениями Ai, A2:
отвечающими, соответственно, собственным направлениям X и Y. Через вершины квадрата 0 ^ х, у ^ 1 плоскости (х, у) проведем прямые, параллельные X и Y (см. рис. 17.3). Эти прямые разделят квадрат 0 ^ X, у ^ 1 на четыре треугольника 1, 1', 2, 2' и параллелограмм 3. Отождествляя противоложные стороны 1 и 1', 2 и 2' квадрата 3, образуем три непересекающихся параллелограмма Vi, V2 и Vz на М. Обозначая через ? полученное таким образом разбиение М, получаем:
(mod 1).
О < A2 < 1 < Ab
ОС
а = У ip~n?. 74
Глава З
Рис. 17.3
Подалгебра 21 есть замыкание измеримой алгебры Ш(а), порожденой а (см. приложение 18),
CXD
21 = Ш(а) = \J <p~nm(?).
п—О
Лемма 17.4. Пусть А — число, мажорирующее длины сторон параллелограммов Ti, T2, Рз разбиения ?. Если константа А достаточно мала, то
1) Неразложимыми элементами алгебры 21 служат отрезки, параллельные сжимающемуся собственному направлению Y.
2) Мера (в смысле dx dy) множества неразложимых элементов алгебры 21. длина которых меньше 1, не более С ¦ 1, где С — некоторая постоянная. В частности, почти каждый неразложимый элемент алгебры 21 есть отрезок и не сводится к точке.
Доказательство.
Если р — целое число, то ippVi, і = 1, 2, 3 — параллелограмм, сторона которого, паралельная X, имеет длину меньше А\А, а сторона, параллельная Y, имеет длину меньше АСледовательно, элементами разбиения
? A tp^? А • • • A tp~n?, п SE Z + служат параллелограммы, связные компоненты которых имеют вид
Tio Г!-- -Citp-nTin, §І 7. Эргодические свойства У-систелі
75
где if), • • • = 1, 2, 3. Стороны этих параллелограммов, параллельные X, имеют длину меньше A^" - А, а стороны, параллельные у, имеют длину меньше А. Так как Ai > 1, при п —»¦ +эо мы получаем первую часть леммы. Пусть L — сумма длин сторон, параллельных X, параллелограммов Vi, T2, Tz разбиения ?. Аналогичная сумма для разбиения tpp? равна A^ • L. Следовательно, аналогичная сумма для о. мажориуется величиной
L + (Xi)-1L + (Xi)-2L + ¦¦¦= Hf С.
1 -
Мера множества элементов разбиения а, стороны которых параллельны Y, есть величины меньше I и поэтому мажорируется величиной C-L
¦
Сжимающееся слоение 17.5
Рассмотрим на M поле векторов длины 1, параллельных сжимающемуся собственному направлению Y. Интегральные кривые этого поля называются сжимающимися слоями (см. §15). Мы говорим, что это слоение эргодичны, если любое объединение положительной меры сжимающихся слоев совпадает с M почти всюду.
Лемма 17.6. Сжимающееся слоение инвариантно относительно tp и эргодично.
Доказательство.
Инвариантность следует из инвариантности направления Y. Для того, чтобы доказать эргодичность, достаточно убедиться в том, что каждый слой всюду плотен (см. приложение 11) или что on пс замкнут (теорема Якоби, приложение 1). Докажем это от противного.
Если SP — замкнутый слой длины f, то tpn& — замкнутый (в силу инвариантности) слой, длина которого равна A2/. Поскольку О < A2 < 1, то, устремляя п к +эо, мы получаем A2 f —>¦ 0. Но это противоречит тому очевидному факту, что длина слоя больше 1. ¦
Доказательство теоремы 17.1.
Из определения 21 ясно, что 21 С tp2l. Это — условие (а) определения 11.1 У-систем. Проверим условие (с)
OO
V <Рп* = 1.
-k=o 76
Глава З
Достаточно доказать, что неразложимые элементы
ОС'
V
та=0
имеют сколь угодно малую длину.
По лемме 17.4, неразложимые элементы а А • ¦ • А tpna имеют вид
A0 п ^pA1 П • • • П <рпАп-, A0, ...,An Є а,
где Ai — отрезки, параллельные Y, длина которых меньше А. Но <р — отображение, сжимающее в A2 (0 < A2 < 1) раз в направлении Y, следовательно,
A0 П • • • П ipnA0
образовано отрезками, параллельными Y и имеющими длину меньше A2. Условие (с) мы получаем, устремляя п к оо.
Проверим условие (Ь). Пусть H — элемент положительный меры пересечения
OO
Pl <рпЯ1.
п=—OO
Это означает, что H — объединение неразложимых элементов из а, <р~га, <р~2а, ... и т.д. Пусть є — число, удовлетворяющее неравенству О < є < I такое, что
C-I < єр(Н),
где С — постоянная из леммы 17.4. За исключением множества E меры, меньшей, чем є • fi(H), неразложимые элементы разложения о. имеют длину, превышающую I. Так как tpсохраняет меру dx dy и растягивает в (A2)-1 раз в направление Y, мы видим, что за исключением множества tp~nE меры, меньшей, чем неразложимые элементы разбиения <р~па имеют длину, превышающую (A2)~п1. Устремляя п к ос, мы получаем, что за исключением множества меры, меньше Efi(H), H состоит из сжимающих слоев.
