Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 19

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 67 >> Следующая


X — у, у — —X — Ky,

где К — положительная постоянная.

Орбиты имеют вид спиралей, а особая точка (0,0) фокус (см. рис.Д|6.3). Но п^теореме IlJf анкаре о собственных значениях8, К — непрерывный инвариант диффеоморфизмов. Следовательно, фокус (0,0) пс мог бы быть структурно устойчивым.

фокус

Рис. 16.3

Л/Г к к

Можно было бы попытаться предложить в непрерывном случае определение, аналогичное тому, которое было дано в дискретном случае: существование гомеоморфизма к в окрестности V(Id1Xi), который порожает следующую коммутативную диаграмму: ф.

M M

где фі — поток, порожденный полем Y. Но тогда предельный цикл (см. рис. 16.4) не был бы структурно устойчивым, поскольку связанный с ним период есть непрерывный инвариант9.

Немедленно возникают две проблемы.

8Cm., например К. Coddingtori, n. Levirisoii [1].

9Cm. например, К. Coddington, N. Levinson [10]. 70

Глава З

Рис. 16.4

1) Какую конфигурацию имеют структурно устойчивые орбиты?

2) Являются ли структурно устойчивые системы общим случаем? Т.е. можно ли приблизить сколь угодно точно произвольное векторное поле структурно устойчивым полем?

Андронов и Понтрягин [2] ответили на эти вопросы для случая, когда M есть сфера S2 (см. приложение 23). Двумерные многобразия, отличные от S2, рассмотрел Пейксото (Peixoto [1]).

С более сложной ситуацией мы сталкиваемся в случаях, когда размерность больше двух. Например, система из примера 13.1 структурно устойчива, хотя и очень сложна (эргодична, со всюду плотными циклами и т. д.10).

С другой стороны, С.Смейл (S. Smale [2]) привел пример, который показывает, что структурно устойчивые системы не образуют всюду плотное множество в пространстве классических динамических систем (см. приложение 24). Таким образом, структурно устойчивые системы не являются общим случаем.

Теорема Аносова11 16.5. Любая У-система (M, <р) структурно устойчива.

Приведем идею доказательства (см. приложение 25).

Пусть W((p) — окрестность (в С2-топологии) диффеоморфизма <р в пространстве диффеоморфизмов многообразия M.

10CM. S. Smale [1].

11Cm. Аносов [1]. § 16. Структурная устойчивость У-систем

71

Прежде всего докажем, что любому tp' Є W(tp) соответствует единственный малый гомоморфизм k: M —>¦ M такой, что

tp' = к о tp о к~г, sup d[k(m), т] < є,

где (/[•,•] риманово расстояние. Докажем также, что величина є, зависящая от tp', ограничена па W(tp):

sup є < Єї-<p'?W(tp)

Отсюда следует, что диффеоморфизм tp структурно устойчив. Действительно, каждому Єї > 0 можно было бы поставить в соответствие некоторую окрестность W(tp) такую, что при любом tp' Є W(tp) существовал бы гомеоморфизм к: M —> M такой, что

tp' = ко tp о к~х sup d[k(m), т] < Єї.

тЄМ

Итак, если tp' Є W(tp) — диффеоморфизм, близкий к tp в ^-метрике, то tp' — У-система. Мы уже доказали (теорема Синая 15.1), что tp и tp' имеют растягивающиеся инвариантные слои Ж и Ж' и сжимающиеся инвариантные слои (3/ и W. Если существует ?-го-меоморфизм к: M —>¦ M такой, что tp' = к о tp о к-1, то, положив т! = fem, т Є М, мы увидим, что

d[tp'n(m'), <рп(т)} = d[k о tpn{m), tpn{m)} < ? (16.6)

при всех п Є Ъ.

Кроме того, из определения У-систем видно, что IIC существует более одной точки ш', удовлетворяющей соотношению (16.6). Действительно, при всех ?^0 имеем:

|(v'*)4nI ^ +ОС

в одном из двух случаев: п —+оо или п ——оо.

Единственность нашего гомеоморфизма к, если он существует, будет доказана, если каждой точке т Є M поставить в соответствие единственную точку тп' Є М, удовлетворяющую соотношению (16.6) при всех га. Следовательно, необходимо доказать, что такая точка то' существует. Для того, чтобы найти т', воспользуемся следующей конструкцией. 72

Глава З

Ясно, что образы tp'n? (п > 0) каждого растягивающегося слоя ? Є SC', близкого к то, имеют точки, близкие к tpnm (более точный смысл этого утверждения см. в лемме А, приложение 25). Можно доказать (см. лемму В, приложение 25), что среди этих слоев существует единственный слой ?(m) такой, что его образы <p'n?(m)(n < 0) также близки к tpn(m).

Точно так же доказывается, что существует, притом только один, сжимающийся слой <5(то) Є 9 такой, что его образы <p'no(m) остаются близкими к ipn(т) при всех п Є Ъ. Так как слоения SC' и '&' транс-версальны, то ?(m) и <Цт.) пересекаются в единственной точке т' из окрестности т. Без труда можно доказать, что <р'(т') = (<рт)' и что отображение к: т —>¦ тп' — малый гомоморфизм, если tp' — диффеоморфизм, С2-близкий к tp.

Случай У-потоков 16.7

Теорема Аносова распространяется па У-потоки.

?(m)

В этом случае подобная конструкция (см. рис. 16.8) дает два слоя ?(то) и S(m), образованных траекториями диффеоморфизма tp'f, асимптотическими (соответственно, при t —> +сю для ?(m) и t —оо для S(mj) к траектории диффеоморфизма tp't, которая представляет собой пересечение слоев. Эта орбита близка к орбите tptm (не как пара- §І 7. Эргодические свойства У-систелі

73

метризованная кривая, а как геометрическая кривая). Для того, чтобы получить гомеоморфизм к, необходимо взять точку из ?(m) П 6(т), например, самую близкую в смысле риманова расстояния.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed