Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
X — у, у — —X — Ky,
где К — положительная постоянная.
Орбиты имеют вид спиралей, а особая точка (0,0) фокус (см. рис.Д|6.3). Но п^теореме IlJf анкаре о собственных значениях8, К — непрерывный инвариант диффеоморфизмов. Следовательно, фокус (0,0) пс мог бы быть структурно устойчивым.
фокус
Рис. 16.3
Л/Г к к
Можно было бы попытаться предложить в непрерывном случае определение, аналогичное тому, которое было дано в дискретном случае: существование гомеоморфизма к в окрестности V(Id1Xi), который порожает следующую коммутативную диаграмму: ф.
M M
где фі — поток, порожденный полем Y. Но тогда предельный цикл (см. рис. 16.4) не был бы структурно устойчивым, поскольку связанный с ним период есть непрерывный инвариант9.
Немедленно возникают две проблемы.
8Cm., например К. Coddingtori, n. Levirisoii [1].
9Cm. например, К. Coddington, N. Levinson [10].70
Глава З
Рис. 16.4
1) Какую конфигурацию имеют структурно устойчивые орбиты?
2) Являются ли структурно устойчивые системы общим случаем? Т.е. можно ли приблизить сколь угодно точно произвольное векторное поле структурно устойчивым полем?
Андронов и Понтрягин [2] ответили на эти вопросы для случая, когда M есть сфера S2 (см. приложение 23). Двумерные многобразия, отличные от S2, рассмотрел Пейксото (Peixoto [1]).
С более сложной ситуацией мы сталкиваемся в случаях, когда размерность больше двух. Например, система из примера 13.1 структурно устойчива, хотя и очень сложна (эргодична, со всюду плотными циклами и т. д.10).
С другой стороны, С.Смейл (S. Smale [2]) привел пример, который показывает, что структурно устойчивые системы не образуют всюду плотное множество в пространстве классических динамических систем (см. приложение 24). Таким образом, структурно устойчивые системы не являются общим случаем.
Теорема Аносова11 16.5. Любая У-система (M, <р) структурно устойчива.
Приведем идею доказательства (см. приложение 25).
Пусть W((p) — окрестность (в С2-топологии) диффеоморфизма <р в пространстве диффеоморфизмов многообразия M.
10CM. S. Smale [1].
11Cm. Аносов [1].§ 16. Структурная устойчивость У-систем
71
Прежде всего докажем, что любому tp' Є W(tp) соответствует единственный малый гомоморфизм k: M —>¦ M такой, что
tp' = к о tp о к~г, sup d[k(m), т] < є,
где (/[•,•] риманово расстояние. Докажем также, что величина є, зависящая от tp', ограничена па W(tp):
sup є < Єї-<p'?W(tp)
Отсюда следует, что диффеоморфизм tp структурно устойчив. Действительно, каждому Єї > 0 можно было бы поставить в соответствие некоторую окрестность W(tp) такую, что при любом tp' Є W(tp) существовал бы гомеоморфизм к: M —> M такой, что
tp' = ко tp о к~х sup d[k(m), т] < Єї.
тЄМ
Итак, если tp' Є W(tp) — диффеоморфизм, близкий к tp в ^-метрике, то tp' — У-система. Мы уже доказали (теорема Синая 15.1), что tp и tp' имеют растягивающиеся инвариантные слои Ж и Ж' и сжимающиеся инвариантные слои (3/ и W. Если существует ?-го-меоморфизм к: M —>¦ M такой, что tp' = к о tp о к-1, то, положив т! = fem, т Є М, мы увидим, что
d[tp'n(m'), <рп(т)} = d[k о tpn{m), tpn{m)} < ? (16.6)
при всех п Є Ъ.
Кроме того, из определения У-систем видно, что IIC существует более одной точки ш', удовлетворяющей соотношению (16.6). Действительно, при всех ?^0 имеем:
|(v'*)4nI ^ +ОС
в одном из двух случаев: п —+оо или п ——оо.
Единственность нашего гомеоморфизма к, если он существует, будет доказана, если каждой точке т Є M поставить в соответствие единственную точку тп' Є М, удовлетворяющую соотношению (16.6) при всех га. Следовательно, необходимо доказать, что такая точка то' существует. Для того, чтобы найти т', воспользуемся следующей конструкцией.72
Глава З
Ясно, что образы tp'n? (п > 0) каждого растягивающегося слоя ? Є SC', близкого к то, имеют точки, близкие к tpnm (более точный смысл этого утверждения см. в лемме А, приложение 25). Можно доказать (см. лемму В, приложение 25), что среди этих слоев существует единственный слой ?(m) такой, что его образы <p'n?(m)(n < 0) также близки к tpn(m).
Точно так же доказывается, что существует, притом только один, сжимающийся слой <5(то) Є 9 такой, что его образы <p'no(m) остаются близкими к ipn(т) при всех п Є Ъ. Так как слоения SC' и '&' транс-версальны, то ?(m) и <Цт.) пересекаются в единственной точке т' из окрестности т. Без труда можно доказать, что <р'(т') = (<рт)' и что отображение к: т —>¦ тп' — малый гомоморфизм, если tp' — диффеоморфизм, С2-близкий к tp.
Случай У-потоков 16.7
Теорема Аносова распространяется па У-потоки.
?(m)
В этом случае подобная конструкция (см. рис. 16.8) дает два слоя ?(то) и S(m), образованных траекториями диффеоморфизма tp'f, асимптотическими (соответственно, при t —> +сю для ?(m) и t —оо для S(mj) к траектории диффеоморфизма tp't, которая представляет собой пересечение слоев. Эта орбита близка к орбите tptm (не как пара-§І 7. Эргодические свойства У-систелі
73
метризованная кривая, а как геометрическая кривая). Для того, чтобы получить гомеоморфизм к, необходимо взять точку из ?(m) П 6(т), например, самую близкую в смысле риманова расстояния.