Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 14

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 67 >> Следующая


Замечание 12.34. По определению, эптропия потока <pt в непрерывном случае равна h(ipt)- Если (М, fi, ipt) Й'-поток (см. определение 11.1), то (М, Ц, (pi) К-система. Следовательно (теорема 12.31). энтропия h((pi) ііГ-потока положительна.

Теорема Кушниренко 12.3516. Энтропия классических систем.

Энтропия классических систем конечна.

Доказательство.

Пусть (М, р, ip) — классическая система. Так как многообразие M компактно и гладко, оно несет риманову метрику g. Деформируя g конформно, можно предполагать, что ее элемент объема равен dp,. Площадь любого подмногообразия есть площадь в смысле метрики g.

Назовем классическим разбиением многообразия M его конечное разбиение на комплексы с кусочно дифференцируемыми границами; таким образом, сумма площадей границ конечна. Поскольку M компактно и гладко, такое разбиение всегда существует (Cairns [1]). Сделаем два очевидных замечания.

16Cm. Кушниренко [1]. 52

Глава 2

1) Поскольку любое конечное разбиение можно аппроксимировать классическим разбиением и энтропия h(a,tp) непрерывна по а (приложение 19), имеем:

h(<p) = sup h(a, (р).

а классическое

2) Если <т — подмногообразие размерности (dim M — 1) и площади 5(<т), то, поскольку M компактно, существует не зависящая от а постоянная Л такая, что

S(<pa)

S(a)

< А. (12.36)

Пусть а — классическое разбиение, 5(a) — площадь границ его комплексов. Тогда

S{а V • ¦ • V (Pn-1Cx) Sj 5(a) + A5(a) + ... + An-^a) < А*

A-I

Из изопериметрического неравенства следует, что существует константа С > 0 такая, что если N = dim М, то

[!,(Ai)^-1^14 sC С ¦ 5(^4j), где Ai Є а V • ¦ • V (Pn-1O..

Если Ai, A2, ... , Aft — элементы рассматриваемого разбиения, то, используя (12.36), получаем

A-I

г=1

Следовательно,

к

logEH^)(JV_1)/JV] < П log A+ const. (12.37)

;=i

Но f(x) = log ж — выпуклая функция, I1(Ai) ^ 0, Yl I1(Ai) = 1, поэтому применение неравенства Иенсена к левой части дает

§ 12. Энтропия,

53

Полагая из і = //(A) l/N, получаем с учетом (12.37): ft

^[//(A) loSM(A)] 1/N 5? «log Л + const, і=1

откуда

к

- EM(A)log//(A)

і=1 ^.T47- 1 X . const -й- ^ TV ¦ log Л H - .

Если n —> +ос, то

h(a. ip) ^N ¦ log А,

и в силу замечания (1)

h(ip) ^N- IogA.

В итоге делаем вывод: Для любой классической системы (M, р., ф) и постоянной А, задаваемой неравенством (12.36), выполняется неравенство

h(ip) ^ (dim М) ¦ IogA. (12.38)

Следствие 12.39. Существуют абстракные динамические системы, не изоморфные классическим. Энтропия таких систем бесконечна, например, бесконечная схема Бернулли:

В(1 II JL JL ^

\2' 4' 16' "' ' 22п' "' ' 22п' "'/' ^ ^

22"-»-1 раз

Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию.

Доказательство.

Действительно, это классическая система (компактная абелева группа конечной размерности), на которой действует вращение. Следовательно, А = 1 и, согласно (12.38), h(tp) =0. ¦ 54

Глава 2

Проблема 12.41. Неизвестно, зависит ли энтропия h(<p) классической системы непрерывным образом от <р.

Замечание 12.42. Теорема Кушниренко связана с результатами М.Артина и Б. Мазура [1]:

Пусть M — компактное гладкое многообразие, ip: M —> M — структурно устойчивый С1-диффеоморфизм, тогда число N(n) изолированных неподвижных точек диффеоморфизмов ipn, п = 1.2,... возрастает не более чем экспоненциально:

N(n) =? С • сХп, С = С(<р), a = a(^j).

Замечание 12.43. Недавно Кушниренко17 ввел некоторые новые нетривиальные инварианты абстрактной динамической системы, А-энтропии. Пусть А монотонная последовательность целых цисел

А: «і < й2 < вз < • • ¦ ¦

Тогда А-эптропия автоморфизма р относительно разбиения « определяется как

, ч h(paia V • • • V рап а) ПА(ір, а) = Iimsup---.

Ti—f + ЗО

Подобно определению 12.23, А-энтропия равна

hA(ip) = sup/ід а).

Обычная энтропия получается, если А = {0, 1, 2, ... }. А-энтропии могут различать некоторые системы с обычной энтропией, равной 0.

Приведем пример.

Пусть А = {2™}. Тогда А-эптропия орициклического потока (см. главу 3) равна h, 0 < h < ос. Рассмотрим прямое произведение этого потока на самого себя. Его А-энтропия равна 2h, 0 < 2h < ос. Поскольку 2h ф h, произведение не изоморфно орициклическому потоку. Тем не менее, они оба имеют нулевую обычную энтропию и счетно-кратный лебеговский спектр.

Замечание 12.44. Недавно Каток и Степин [I]18 ввели несколько новых нетривиальных инвариантов абстрактных динамических систем, скорости периодических аппроксимаций.

Пусть (M7 Ц. ip) — абстрактная динамическая система, — разбие-

1

ниє (М, ?) на множества C1n меры — (i = 1, ... , п). Автоморфизм Sn пространства (M7 ?) называется циклическим относительно разбиения ^n, если:

17Cm. его доклад на Международном Математическом Конгрессе, Москва, 1966.

18Cm. их доклад на Международном Математическом Конгрессе, Москва, 1966. § 12. Энтропия

55

o) Snin -

b) (S1rl)" = E, (Sn)k фЕддяк<п (E — тождественное преобразование).
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed