Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
1) вектор скорости J^v<ml«=o не равен нулю-,
2) TMm — касательное пространство в точке т разлагается в прямую сумму:
TMm = Xm © Ym ® Zm,
где Zm — пространство, порожденное вектором скорости в т, и dim Xm = к ф 0, dim Ym = I ф 0;
3) при положительном вещественном t
IKvtreiI >«-еЛі||Є||, ll(v-t)*eil ^ ь ¦ е_Лі||?||, если t Є Xm, ны*екь- etilen, ll(v-<)*eil ?= а ' еЛ<ІІЄІІ? если ? Є Ym,
где постоянные а, Ь, X положительны, и не зависят от ? и t.
Условие 1 означает, что система не находится в равновесном состоянии. Условие 3 описывает поведение решений системы (TM, (vt)*)- 60
Глава З
ЗАМЕЧАНИЕ 13.4. Нетрудно доказать, что:
1) подпространства Xm и Ym однозначно определяются своими свойствами (и являются наиболее «растягивающимся» и «сжимающимся» подпространствами в TAfm);
2) dim Xm — к и dim Ym — I не зависят от т (к непрерывная функция от га, принимающая целочисленные значения на связном Af);
3) Хм и Ym непрерывно зависят от га.
Наконец, заметим, что У-система не является классической системой (см. определение 1.1), поскольку мы не постулировали существование инвариантной меры.
Покажем теперь, что, отправляясь от У-диффеоморфизма, можно построить некоторый У-поток.
Пример 13.5 (С.Смейл). Пространство M.
Пусть T2 = {(ж, у) mod 1} — двумерный тор, [0,1] = {и | 0 ^ и ^ 1}. Построим цилиндр T2 х [0, 1] и затем отождествим T2 х {0} и T2 х {1} по формуле
В результате мы получим компактное многообразие М. Пусть (X, у, и) Є М; отображение р: M —>¦ S1 = {и (mod 1)}, р(х, у, и) = и всюду имеет ранг 1. Следовательно, многообразие M есть расслоенное пространство2 с базой S и слоем типа T2.
Поток ipt-
Группа диффеоморфизмов щ многообразия M определена соотношением
2Напомним определение расслоеного пространства. Пусть M — гладкое, связное, компактное многообразие размерности n + q, В гладкое многообразие размерности п, называемое базой, р: M —> В — С2-дифференцируемое отображение, имеющее всюду ранг п и называемое проекцией. Набор (М, В, р) называется расслоенным пространством над М, р-1(ж), (х Є В) — слоями. Эти слои имеют размерность q и диффеоморфны между собой.
((ж, у), 1) = {<р(х, у), 0) = {{х + у, X + 2у), 0) (mod 1),
где tp — диффеоморфизм из 13.1:
(mod 1).
X = 0, у = 0, й = 1.
(13.7) § 13. У-системы
61
и
а
Рис. 13.6
Метрика на М.
Пусть Ai, A2 (0 < A2 < 1 < Ai) — собственные значения матрицы
ds2 = X21uIX1 dx + ( 1 - Ai) dy}2 + X2u[Xi dx+{ 1 - A2) dy}2 + du2. (13.8)
Нетрудно убедиться в том, что эта метрика инвариантна относительно отображения
Иначе говоря, эта метрика совместима с произведенным выше отождествлением T2 х {0} и T2 х {1}. Следовательно, это метрика на M.
(M, tp) — У-поток.
Проверим три условия из определения 13.3.
1) Из (13.7) следует, что вектор скорости не обращается в нуль.
2) Пусть тп = (х, у, z) Є М. Определим три подпространства Xm, Yrn, Zm пространства TMm: Xm (соответственно, Ym) касается слоя T2 X и и параллелен собственному направлению, соответствующему собственному значению Ai (соответственно A2), диффеоморфизма tp слоя T2 X {и}:
Метрика на T2 х [0,1] определена сотношением
(х, у, и) -»¦ (х + у, X + 2у, и - 1).
(mod 1), 62
Глава З
подпространство Zm коллинеарно вектору скорости (13.7). Имеем:
TMm = Xm © Ym © Zm, (Ііш Xvi = dim Ym = 1.
3) Пусть ? Є Xm: компоненты ? в системе координат (х, у, и) имеют
вид
(я, я(Аі - 1), 0), я Є М.
С другой стороны, согласно (13.7) матрица диффеоморфизма <р* есть не что иное, как единичная матрица. Следовательно, из (13.8) получаем:
IKvneiI2 = А?(и+<)[А15 + (1 - A1XA1 - l)s]2 = Af • Iieil2,
откуда
IKvDeiI = Ai1IieiI.
Таким образом, первая группа условий 3 (определение 13.3) выполняется, если принять a = b = 1, ех = A1.
Вторая группа условий проверяется таким же образом. Ясно, что поле 2-плоскостей Xm © Zm (соответственно, Ym © Zm) гладкое и вполне интегрируемо; следовательно, оно определяет над M расслоенную структуру3.
Интегральные многообразия (или слои) состоят из орбит, асимптотически сближающихся при t —> —00 (или t —> +сю) (см. рис. 13.9). В общем случае, как мы увидим, это свойство следует из условия У.
Замечание 13.10. Приведенная выше конструкция носит общий характер.
Пусть (V, tpo) — С-диффеоморфизм на многообразии V. Если в топологическом произведении V X [0,1] мы отождествим точки (w,0) и (^o", 1), то получим компактное многообразие М. Определим У-поток на M, полагая
<Pt(v, s) = (<Д<+°Ч t + s- [t + s]),
где V Є V, s Є [0,1], и [о] означает целую часть числа а.
3 Расслоенная структура над многообразием M задается полем вполне интегрируемых р-плосиостей. Связные компоненты интегральных многообразий называются слоями. Слои — это подмногообразия размерности р. § 14¦ Геодезические потоки компактных римановых многообразий 63
Рис. 13.9
§ 14. Геодезические потоки компактных римановых многообразий отрицательной кривизны
Приведем важный пример У-системы.
Определение 14.1. Многообразия отрицательной кривизны4.
