Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
109
тор. если он представляет собой связную компоненту пересечения двух усов T = M+ П М~ — инвариантных открытых многообразий таких, что
lim x(t) — TTI = 0 при ж(0) Є M+ (исходящий ус),
t—5--ОС
Iim x(t) — Tl = 0 при ж(0) Є М~ (входящий ус).
t—»-+ос
Например, тор Tk : X = у = Z = О в системе
X = \х, у = —?y, Z = 0, ф = и> (23.2)
(А, /1 > 0, Lp (mod 27г) Є Tfe, частоты из несоизмеримы) определяет в пространстве Ж1+ хЖ1~ хМ'° хТ* ус M+ размерности l++k (у = z = 0) и ус М~ размерности /_ + k (х = z = 0).
В) Переходные торы 23.3
Пусть M — гладкое подмногообразие пространства X, f2 С X — подмножество пространства X. Говорят, что І2 загораживает M в некоторой точке X Є М, если каждое многообразие N, трансверсальное к M в точке X, пересекает ?2.
Например25, спираль f2 загораживает свой предельный цикл M во вссх точках M (см. рис. 16.4, гл. 3).
Усатый тор T называется переходным тором, если объединение всех образов Г2 произвольной окрестности U каждой точки ? входящего уса М~ загораживает исходящий ус M+ в каждой точке г/ Є M+ (см. рис. 23.4).
Лемма 23.5. Тор х = у = z = 0 в (23.2) есть переходный тор.
Доказательство.
Пусть ? = (0, уо, 0, ро), г) = (жі, 0, 0, Так как частоты и> несоизмеримы, существует последовательность ti, ti -+ +ос такая, что расстояние между ipo+ujti и ipi стремится к нулю. Рассмотрим часть V
окрестности U, задаваемую соотношением у = уп. Через f2 = (J U(t)
t> о
мы обозначаем множество всех точек траекторий, исходящих из U. О содержит множество образов gttV, где gt — группа преобразований,
25Эта идея уже была использована Ситниковым [1] и А. Леонтовичем [1]. 110
Глава 4
Рис. 23.4
определяемая уравнениями (23.2). При достаточно больших ti эти образы gt.V пересекают окрестность точки г) (так как А > 0). Точки пересечения задаются уравнениями
V = Vi, yi = e~?tiVи последовательно, П содержит множество всех поверхностей gt,V, параллельных усу M+ и имеющих M+ своим пределом; эти поверхности уже загораживают M+ в точке г], что и доказывает лемму. ¦
С) Переходные цепочки 23.6
Последовательность переходных торов Ti, T2, ..., Ts называется переходной цепочкой, если их усы пересекаются трансверсально следующим образом (см. рис. 23.7):
M1+ П М~ ф 0, M2+ П М~ ф 0, ..., Me4L1 П М~ ф 0.
Лемма 23.8. Пусть Ti, T2, ...,Ts — переходная цепочка. Тогда для любой окрестности U произвольной точки ? Є M1- и любой окрестности V произвольной точки Tj Є M+ существует траектория ?(t) такая, что
те и, mev. § 23. Топологическая неустойчивость и усатые торы
111
Рис. 23.7
Доказательство.
Рассмотрим будущее U = (J U(t) окрестности U. Поскольку Ti —
оо
переходный тор, то П загораживает ус M1 в точке пересечения усов M^ и M2-. Следовательно, многообразие M2- пересекает открытое множество О. Пусть Є M2- П fi, тогда вся окрестность U1 точки принадлежит О. Будущее окрестности U1 принадлежит І2. Достаточно повторить тс же рассуждения s раз, чтобы убедиться в том, что О загораживает M+ в точке 7]. U
D) Пример неустойчивой системы 23.9
Пусть О = E2 X T3 пятимерное пространство
h, h,4>\, f>2, t (<pi,<p2, і (mod 27г)).26 Рассмотрим систему, функция Гамильтона которой имеет вид
H = \{ll + I22) + є(1 + рВ) cos (vi - 1), В = sin ip2 + cos t, т.е. систему дифференциальных уравнений
фі=І1, ф2=І2, її = ? sill v?i(l + (lB), I2 = є(1 - COS ^i)(1 COS <P2, где ? -С ? -С 1 два параметра.
(23.10)
2®Уравнения (23.10) можно было бы записать в виде консервативной системы
с 3 степенями свободы. 112
Глава 4
Теорема 23.11. Пусть 0 < А < В. При любом є > 0 существует //о = [Iq(A, В, є) > О такое, что для 0 < р, < ?a система (23.10) имеет решение, удовлетворяющее при некотором t неравенствам I2(O) < А, I2(I) > В.
В силу леммы (23.8) для доказательства теоремы достаточно найти переходную цепочку Ti, ..., Ts такую, что I2 < А на Ti и I2 > В на Ts. Лемма 23.12. Для системы (23.10) любой двумерный тор заданный соотношениями I± = ipi = I2 — из = 0, где из — иррациональное число, есть усатый тор. Действительно,
1) ясно, что Тш — инвариантный тор системы (23.10);
2) при /х = 0 трехмерные усы определяются уравнениями
г~ tPl Ii = ±2V? sin —, I2 = из;
3) при ? < ?o(s) усы еще существуют и могут быть найдены методом Адамара (см. §15, гл. 3). Рассуждение леммы (23.5) доказывает, что торы Тш также являются переходными торами. Наконец, используя вариационные формулы для усов при «малом» ?, мы доказываем следущую лемму.
Лемма 23.13. Пусть А < из < В. Тогда исходящий ус M+ тора Тш трансверсально пересекает входящие усы M1~ близких торов Тш/ (поскольку \из — из'\ ^ а, где а = а(є, ?, А, В) >0).
Для доказательства этой леммы необходим анализ, который приведен в работе В.И.Арнольда [13]. Этот анализ также показывает, -1
что а ~ ? ¦ е*^. Из лемм (23.12) и (23.13) следует, что усатые торы ТШ1, ..., ТШз (из і иррациональны, \u3i — изг+1| SC а, из і < A, U3S > В) образуют цепочку. Теорема (23.11) следует из леммы (23.8), примененной к этой цепочке.
