Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Проблема, которая теперь возникает, заключается в следующем: какая существует связь между истинным возмущенным движением I(t) и динамикой усредненной системы J(t) при 0 < t < 1/е? Выполняется ли неравенство (22.5)?
В самом простом случае периодических движений (k = 1) нетрудно доказать (см. приложение 30 и Боголюбов и Митропольский [1]), что если UJ ф 0, то
II(t) - J(t)I < Ce при любом О < t < Но уже в случае двух частот (к = 2) ситуация более сложная. 102
Глава 4
В) Контрпример 22.6
Пусть к = I = 2, а > 1. Рассмотрим систему
ф = її, ф2 = I2, h=s, h = eacos((fii - tp2). Ясно, что усредненная система имеет вид
j1 = є, J2 = 0
(что соответствует малым стрелкам на рис. 22.7). Рассмотрим теперь начальные условия
Ii = I2 = Ji = J2 = 1, ipi =0, Ip2= arccos і
Рис. 22.7
Имеем:
h(t) = I2(t) = I + et, Ji(t) = l + et, J2{t) = 1,
следовательно,
= 1.
Иначе говоря, по истечении времени 1 je усредненное движение утрачивает всякое отношение к истинному движению, которое захватывается в резонанс u>i = w2. § 22. Теория возмущений
103
C) Математическое обоснование метода усреднения 22.8
Существуют по крайней мере четыре различных подхода к вопросу математического обоснования метода усреднения. Пока все четыре позволили получить достаточно скромные результаты.
1) Можно подробно исследовать окрестности частных решений усредненной системы (например, окрестности положений равновесия (F = 0)). Притягивающим точкам системы (22.4) соответствуют притягивающие торы (аттракторы) системы (22.3). Ясно, что в окрестности такого тора имеет место устойчивость (0 < t < оо). Существование притягивающих торов для возмущенных систем доказано Н.Н.Боголюбовым [2], Ю.Мозером [2] и И.Купкой [1].
Такой подход неприменим к гамильтоновым системам, поскольку для таких систем по теореме Лиувиллл 1.10 (см. гл. 1) притягивающие множества (аттракторы) не существуют.
2) Отношение между I(t) и J(t) можно исследовать для большей части (в смысле теории меры) начальных условий, пренебрегая точками, соответствующих резонансам. Аносов [3] и Kacyra [1] доказали теоремы следующего типа.
Пусть R(e, р) множество начальных условий в О таких, что при некоторых 0 < t < l/є выполняется неравенство \I(t) — J(t)\ > p. Тогда
lim мера R(e, p) = 0 для всех р > 0.
Метод, о котором идет речь, позволяет получить аналогичные результаты для систем гораздо более общих, чем система (22.3), по в этом и заключается его слабость: оценка меры множества начальных условий R(e,p) нереальна и не содержит никакой информации о характере движения в R{e,p).
3) Можно исследовать явление прохождения через состояние резонанса.
4) Больше результатов можно получить, если ограничиться гамиль-тоновыми системами.
D) Прохождение через резонанс 22.9
Начнем с примера
фі = h + І2, ф2 = І2, її = г, L1 = є cos(<?i - (р2). 104
Глава 4
т
IuJl
Рис. 22.10
Усредненная система имеет вид (см. рис. 22.10)
J1 = є, J2 = 0.
Рассмотрим начальные условия, соответствующие резонансу u>i = и>2:
Vi(O) = ^2(O) = J1(O) = J2(O) - 1 = 0. После несложных выкладок получим:
т
II(t) - J(t)| = |J2 (t) -1\ = V2є j cos X2 dx, г = yj^t.
0
Следовательно, при t = l/є разность составляет
|,(1) -J(I)I =C^.
Таким образом, при прохождении резонанса = U2 орбита I(t) отличается от орбиты усредненного движения па величину порядка sfe. Можно также заметить, что пучок траекторий I(t),<p(t), различающихся только фазами <р(0) в начальный момент времени, рассеивается на этом резонансе, причем рассеяние величины I2 при прохождении резонанса и>і = W2 имеет порядок і/є (см. рис. 22.10). Для общей системы (22.3) с двумя частотами (k: = 2) можно получить следующую теорему20.
20B. И. Арнольд [12]. § 22. Теория возмущений
105
Разность между точным и усредненым решениями оценивается величиной
II(t) - J(t) I < С VeIn2 і для всех О < t < (22.11)
если Ф О' ^f Ф О и Функция
«'¦'Hw'h-iw'h
не обращается в нуль в О. Ограничение Аф 0 означает, что если Аф О, то система не захватывается в резонанс, при этом в силу (22.3)
(d^M) / п
dt *
В примере (22.6) условие А ф 0 не выполняется: функция A(I,<p) = = I2- Iiacos(ipi — (р2) изменяет знак при Ii = I2, если а > 1. Этот пример показывает, что условие Аф 0 невозможно заменить аналогичным условием для усредненной системы.
Доказательство неравенства (22.11) основано на том, что рассеивающее действие каждого резонанса по порядку величины составляет CyJe и ЧТО СрСДИ бсСКОПСЧПО МНОГИХ рСЗОНаїІСОВ Wij W2 = mjn только самый сильный резонанс In2(1/е) (т, п < 1п(1/є)) производит заметный эффект. Для систем с более чем двумя частотами (к > 2) прохождение через резонанс не исследовано.
Е) Усреднение гамильтоновых систем 22.12
Применим метод усреднения к гамильтоновым системам (21.5). Если выполняется условие невырожденности (21.6), то большая часть невозмущенных орбит эргодична на торах р = const. Поэтому такие системы можно представить в виде (22.3) с I = р, tp = q, к = п:
