Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
В непрерывном случае (М, fi, tpt) приведенные выше условия подлежат замене на следующие:
а') 21 С іpt% при t ^ О,
OO
V) П VM = О,
t=—cо
GO
<J) V = !•
t= — OO
По определению, система, изоморфная if-системе, есть if-система. Пример 11.2. Схемы Бернулли (см. гл. 1, 2.2). Схемы Бернулли являются К-системами.
Доказательство.
Напомним, что если B(pi, .... рп) схема Бернулли, то
A3i = {rri = ... га_1, mo, гаь ... | mj = j}, j Є Zn, і Є Z.
Пусть 21 — алгебра, порожденная A3i, і Sj 0. Если tp — сдвиг, то
V(A{) = А{+1.
Следовательно, tp% — алгебра, порожденная генераторами A3k, k ^ 1, и
21 С tp%
что доказывает (а).
С другой стороны, любой генератор A3 алгебры 1 есть tpq(A3i) = — A\+q, і :? 0, если взять q ^ к — i, q Є Z. Мы получаем свойство (с):
OO
У ?>"21 = 1.
Tt=-CC 40
Глава 2
Докажем, что
со
р| ^nSa = O.
u=-oo
Пусть © подалгебра алгебры 1, каждый элемент которой принадлежит какой-нибудь подалгебре, порожденной конечным числом генераторов Aj. Нетрудно видеть, что каждому А Є 03 соответствует число N Є Z такое, что ?(AnB) = ?(A) • ?(B) при всех В Є ip~nZI, n ^ N. Таким образом, соотношение /ДА П В) = /i(A) • ,i(B) выполняется еще
Л OO
и при всех Л Є 1 и Б Є р) ip~n2l. В частности, ?(B) = /j,(B П В) =
"=O „
2
= [?(B)] , т. е. ?(B) = 0 или 1 для всех Вё f| ip~n 21. Отсюда следует,
OO Л ™=°
что р| ip~n21 = 0, и мы заключаем, что
п=0
со со
O= Pl </з™21 С р| </з~™21. и
п= — со п=0
Следствие 11.3. Преобразование пекаря есть К-система.
Доказательство.
Преобразование пекаря изоморфно В(1/2, 1/2) (см. приложение 7).
¦
Пример 11.4. В гл. 3 мы рассмотрим обширный класс і^-систсм — так называемые классические ^-системы. Этому классу принадлежат автоморфизмы торов, геодезические потоки на компактных римановых пространствах отрицательной кривизны, ансамбли «упруго сталкивающих ся частиц» Больцмана-Гиббса и многие другие системы.
Докажем, что в дискретном случае10 ^-системы имеют бесконечный лебеговский спектр (Колмогоров [2]).
Следовательно, /^-системы являются перемешивающими и эрго-дичны (теорема 10.4).
Теорема 11.5. K-система имеет счетнократный лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам.
Приведем схему доказательства, которое полностью дано в прило-жении 12.
10Нспрсрывный случай см. Синай [6]. § 11. К-системы
41
нвин и~'не>н
............UH H V1H
xh1 x LT1Ii1 ............. fr
x h,
...........xUh x h, x U~%
Рис. 11.6
Пусть 21 — подалгебра из определения 11.1. Обозначим через H подпространство функций из Ь2(М, //), порожденное характеристическими функциями элементов подалгебры 21. Если U — оператор, индуцированный автоморфизмом <р, то свойства (11.1) подалгебры 21 переходят в следующие (рис. 11.6):
со
H0 = f| UnH С • • • С UH С H С _
T4=-OO ,°°,
CU-1H С ••• с IJ UnH = L2{M, fi),
Tl=-OC
где H0 — пространство, порожденное функцией 1.
На ортогональном дополнении H Q UH пространства UH к H выберем полный ортопормироваппый базис {hj}. Последовательность
... , U-1Hj, hj, Uhj, ...
порождает пространство Hj. Пространства Hj инвариантны относительно U, и их ортогональная сумма есть L2(M, /j)qH0. Следовательно, если положить
eij = U-''hi, і Є Z+, j Є Z, то функции {е.;і7} и функция 1 образуют полный ортонормированный базис в Ь2(М, //) G H0 такой, что
UeiJ = Kij+i для всех г, j
(определение лебеговского спектра). 42
Глава 2
Можно доказать, что размерность H Q UH бесконечна (приложение 17), следовательно, лебеговский спектр бесконечен.
§ 12. Энтропия
Определим теперь инвариант динамических систем, который не является спектральным инвариантом11.
Пусть а = {Аі}і?і — измеримое конечное разбиение M (см. приложение 18):
=0, H(AiHAj) = O при і ф j,
ієі
В дальнейшем предполагается, что I конечно (или счетно). Определение 12.112. Величина
h(a) = - J^(Ai)Iog/і(Ai),
ієі
где log двоичный логарифм и ж log ж = 0 при х = 0, называется энтропией h(a) разбиения а.
Сумма в правой части может быть конечной или бесконечной, так как элементы последовательности {ц,(Аі) log//(^)} отрицательны или равны пулю (0 SC ?(Ai) sj 1).
Пример 12.2. Разбиение на N элементов одинаковой меры. В этом случае /х(А;) = , поэтому h(a) = log N. Заметим, что если а некоторое разбиение на N элементов, то
h(a) ^logN,
причем равенство имеет место в том и только том случае, если все элементы имеют одну и ту же меру 1/N. Действительно, функция
f — x log x при 0 ^ x ^ 1, z(x) = <
( 0 при х = 0
11Btot инвариант введен А.Н.Колмогоровым [4].
12Относитсльно вероятностного подхода см. А. М.Яглом и и. М. Яглом [1]. § 12. Энтропия
43
z
О 1/е
1 ж
Рис. 12.3
строго выпукла, так как
Поэтому из неравенства Иенсена мы получаем, что
h(a) = Y =NYlJfZfaW) <
^ =Nz(±) =IogN
Иначе говоря, h(a) есть не что иное, как взвешенный двоичный логарифм от числа элементов разбиения а.
