Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
?(A) ^^?(An ipn' I) Z (1 - e)? (? ірпч\.
і=1 4=1 '
2Tomho также при возмущениях этой метрики на T2 геодезический поток не является эргодическим (см. гл. 4). 26
Глава 2
С другой стороны, траектории, соответствующие концам отрезка I, всюду плотны (см. теорему Якоби в приложении 1). Так как Ii(I) Sj є, существуют целые числа Пі, ... , при которых множества <рП11,..., ірПкІ не пересекаются и покрывают M с точностью до множества меры 2є. Следовательно,
\:=і '
и
ц(А) > (1-є)(1-2є).
Поскольку є произвольно, ?(A) = 1 и система эргодичиа. С помощью подобных рассуждений доказывается, что системы из примеров (1.2) и (1.15) эргодичны вследствие того, что их траектории всюду плотны (см. приложение 11).
Другие примеры см. в приложениях 12 и 13. ¦
§ 8. Перемешивание
Пусть M — шейкер, наполненный несжимаемой жидкостью, состоящей на 10% из джина и на 90% из мартини (см. рис. 8.1). Предположим, что первоначально часть А в M занята джином. После п встряхиваний ір содержание джипа в произвольном объеме В шейкера будет равно
?(p>nA П В)
Физически естественно ожидать, что после достаточно большого числа встряхиваний (п —>¦ сю) доля джина в любом объеме В внутри M будет порядка 10%.
Эта приводит к следующему определению.
Определение 8.2. Абстрактная динамическая система (М, ц, <pt) есть перемешивание, если
lim fi[<ptA П В]= іл(А) ¦ Ii(B) (8.3)
f.—>+оо
для любой пары измеримых множеств А и В. § 8. Перемешивание
27
Рис. 8.1
Очевидно, что динамическая система, изоморфная перемешивающей, сама обладает свойством перемешивания. Таким образом, перемешивание является инвариантным свойством динамических систем.
Следствие 8.4. Динамическая система с, перемешиванием эргодична.
Доказательство.
Пусть А инвариантное измеримое множество. Полагая В = = М\А, получаем:
щА ПВ = ІП5 = 0.
С учетом соотношения (8.3) это означает, что р(А) • р(В) = 0, откуда [i(A) = 0 или 1. ¦
Следующий пример показывает, что обратное неверно: эргодичес-кая система не обязательно должна быть с перемешиванием3.
Пример 8.5. Динамическая система M = {х (mod 1)}, ip = х —У х + + a (mod 1) эргодична, если число а иррационально (пример 7.8). Эта система не есть перемешивание, поскольку образом малого отрезка А служит отрезок той же длины, пересечение которого с другим малым
3HaofiopoT, если ц(М) = оо, то справедлив следующий результат (A.B. Hajian [1]): Пусть (М, ц. ipt) — эргодическая система с /к(М) = оо, AaB — два измеримых множества. Тогда при любом є > О найдутся сколь угодно большие действительные і такие, что jj\<ptA П В] < є. 28
Глава 2
отрезком В то пусто, то положительной меры. Например, эргодические преобразования торов (примеры 1.2 и 1.15, глава 1) не могут быть перемешиванием.
Пример 8.6. Сравнение рис. 1.17, 2.4 и 8.1 наводит на предположение о том, что автоморфизм тора T2 из примера 1.16 и схемы Бернулли являются перемешиванием. Позднее мы докажем это предположение (см. 10.5 и 10.6).
Замечание 8.7. Понятие перемешивание для динамических систем (M. /г, ip) можно определить и в том случае, когда ip — эндоморфизм (см. приложение 6), не будучи автоморфизмом (см. приложение 14).
Замечание 8.8. Существует одно понятие, занимающее промежутное положение между понятиями эргодичности и перемешивания, которое также является инвариантом эргодических систем понятие слабого перемешивания (см. Халмош [1]).
Мы говорим, что динамическая система (М, Ц, ipt) обладает свойством слабого перемешивания, если
T
тД + » T / А ПВ)~ " dt = u
О
в непрерывном случае и
JV-I
Jim Ь E П В) - ^a) ¦ V(B)I = 0
Ar-юо Jv ^—'
л = О
в дискретном случае для любой пары измеримых множеств А и В. Р. В. Шакоп (пеопубликовапо) доказал, что если система (M, //, ip) эргодична, то существует измеримое изменение модуля скорости, которое реализует слабое перемешивание.
В. А.Рохлин [1] вводит понятие перемешивания н-го порядка (см. Халмош [1]) как новый инвариант динамических систем: динамическая система (М, /і, іpi) по определению есть перемешивание п-го порядка, если
п
Iim //, [IptlA1 П Ifit2 A2 П • • • П iptnAn} = TT H(Ai)
inf t;— tj |-> + 00 .
іфі г—1
при любом наборе измеримых множеств A1, ... , An. Обычное перемешивание есть частный случай (п = 2). Остается открытым вопрос, существует ли перемешивание, которое не является перемешиванием порядка п > 2. § 9. Спектральные инварианты
29
§ 9. Спектральные инварианты
Пусть (М, р, ір) абстрактная динамическая система. Обозначим через L2(M, р) гильбертово пространство определенных на M комп-лекснозначных функций, квадрат модуля которых ^-суммируем. Если /, g Є L2(M, р.), то положим
{/ \g) = f fgd?, J M
где z — величина, комплексно сопряженная с величиной z,
II/II = ViFYT)-
Определение 9.1. Пусть / Є L2(M, р). Положим
U f(x) = f(p>(x)). (9.2)
Тогда отображение U называется оператором, индуцированным tp. Теорема 9.3 (Купман [1]). U — унитарный оператор на Ь2(М, р). Доказательство.
a) U линеен: если а, Ь Є С, f.g Є L2(M, р), то
