Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Мы выражаем благодарность профессорам Шоке-Брюа, X. Кабан-нису и П.Герману, Дж. Ковалевскому, Дж.Рибу, Л.Шварцу, Р.Тому и М.Церперу, которые высоко оцепили эти лекции. Также мы благодарим профессора С. Мандельбройта, который предложил написать эту книгу. Конечный вариант рукописи был просмотрен Я. Синаем, который предложил внести некоторые важные изменения, за что мы ему искренне благодарны.
В. И. Арнольд А. Авец Глава 1 Динамические системы
В этой главе приведены примеры динамических систем и связанные с ними проблемы.
§ 1. Классические системы
Определение 1.1. Классическая динамическая система (М, ц, ipt) — это набор, состоящий из гладкого многообразия M, меры ц на M с непрерывной положительной плотностью и одпопарамстричсской группы (ft диффеоморфизмов многообразия M, сохраняющих меру:
Ii(A) = fi{<pt А) при всех t и всех измеримых А.
Параметр t — действительное или целое число: і Є К или Z. Если t Є М, то группа (ft определяется в локальных координатах соотношениями:
Xі = fix1, ... ,хп), і = 1, ... , п, п = (1ІГГ1 М.
Если і Є Z, то ft — дискретная группа, порожденная сохраняющим меру диффеоморфизмом <р = fi. Такую систему принято обозначать (М, //, f), a f называется автоморфизмом. Пример 1.2. Квазипериодическое движение. Пусть M двумерный тор {(ж, у) mod 1}. снабженный обычной мерой dxdy, а группа ipt задана соотношениями
X = 1, у = а, где а Є К.
Предположим, что а рациональное число: a = р целое число, q — целое положительное число, взаимно простое с р.
Траектории, соответствующие начальным условиям ж(0) = xq, у(0) = уо, удовлетворяют уравнению:
У = Уо + - х0) (modi). 12
Глава 1
В силу этого, если х = q + Xо, то у принимает значение уо + р и соответствующая точка на M совпадает с начальной (ж0, уа). Таким образом, тор M покрывается замкнутыми траекториями. Если а. — иррациональное число, то каждая орбита всюду плотна (Якоби, 1835; см. приложение 1).
В более общем случае, пусть Tn = = {(ж1, ... , хп) mod 1} — n-мерный тор, снабженный мерой d,x1 ... dx11, и ipt однопараметрическая группа, определяемая соотношениями
Рис. 1.3
x = cj
і = 1,
со Є
Каждая орбита всюду плотна на Tn тогда и только тогда, когда из того, что kiuj1 + .. . + knujn = 0 при к; Є Z, следует, что к1 =... = &„ = 0.
Пример 1.4. Геодезические потоки. Пусть M = T1V — унитарное касательное расслоение над компактным римановым многообразием V. Единичный вектор ? Є TiVx. касательный к У в точке ж, однозначно определяет геозедическую 7, имеющую в точке x касательный вектор Обозначим через 7(?, я) точку, полученную движением из х за время S по этой геодезической со скоростью 1, и через
є TiVyiti t)
(1.5)
единичный вектор, касательный к 7 в точке t).
Формула (1.5) определяет одпопараметрическую группу диффеоморфизмов:
Gt: M М, M = T1V.
Определение 1.6. Группа Gt называется геодезическим потоком на V.
Можно показать,что Gt сохраняет меру ?, индуцированную на M метрикой многообразия V (теорема Лиувилля).
Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве E3 имеется в приложении 2, на эллипсоиде в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвари-аптпой метрикой, — в приложениях 3 и 4. § 1. Классические системы
13
Наконец, заметим, что в механике геодезический поток известен под названием «движение материальной точки, вынужденной перемещаться по гладкой поверхности V и не подверженной действию никакой внешней силы».
Другие механические системы приводят к более общим потокам.
Пгимег 1.8. Гамильтоновы потоки. Пусть P1, .... рп: Q1 ,...,qn (кратко — р, q) — система координат в E2n, Н(р, q) — гладкая функция. Система 2п дифференциальных уравнений
dq = dH_ dp = дії ц дч
dt dp dt dq
определяет однопараметрическую группу диффеоморфизмов пространства R2". Эта группа называется гамильтоновьш потоком в Е2™.
Теорема Лиувилля 1.10. Гамильтонов поток сохраняет меру dpi ... dpn dq1... dqn.
Доказательство.
Дивергенция поля векторов (1.9) равна нулю:
Теорема о сохранении энергии 1.11. Функция H есть первый интеграл системы уравнений (1.9).
Доказател ьство.
Обозначим через M поверхность уровня Н{р, q) = h. При почти всех h M есть многообразие. Это многообразие инвариантно относительно потока.
Следствие 1.12. Существует инвариантная мера на многообразии M.
Доказательство.
Инвариантная мера на M определяется соотношением 14
Глава 1
где ||-|| — длина, и — элемент объема многообразия М, индуцированный метрикой пространства К2™.
Если система (1.9) имеет несколько первых интегралов /1,/2,..., /а, то уравнения (1.9) определяют классическую динамическую систему на каждом многообразии размерности 2п — к, задаваемом равенствами I1 = hi, ..., Ik = hk, где hi,... , hu константы. ¦
Частный пример 1.13. Линейные колебания в двумерном случае. В этом случае гамильтониан H равен
Система (1.9) имеет два первых интеграла: h=p\ + q\, h=vl+ql-
Соответствующие поверхности уровня имеют вид двумерных торов. Динамические системы, индуцированные па этих торах, изоморфны динамическим системам из примера (1.2). Другие примеры приведены в приложении 5.
