Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
U(af + hg) = (af + hg) о tp = a(f о p>) + b(g о p>) = a -Uf+ b- Ug.
b) U есть биективное отображение, так как ір обратим п. в.
c) U есть изометрил, поскольку ір сохраняет меру; действительно, если положить <р(у) = x, то
IIfZII2 = [ IZMy))!2 dp(y)= [ \.f(p(y))\2dp(p(y)) =
Jm JM
= [ \f(x)\2dp(x) = WfW2. Jm
¦
Замечание 9.4. В непрерывном случае (М, ipt) мы получим непрерывную однопараметрическую группу Ut унитарных операторов. зо
Глава 2
U(M) ---> L2(M)
Рис. 9.Є
Определение 9.5. Ясно, что если две динамические системы (М, fi, ір) и (M',?',ip') изоморфны (см. определение 4.1), то они определяют эквивалентные унитарные операторы U и U', т.е. существует изоморфизм F: Ь2(М, /л) —у Ь2(М', fj,') что U' = FUF-1 в соответствии с диаграммой на рис. 9.6 (где U' = F • U • F-i).
Следовательно, инварианты оператора U являются некоторыми инвариантами динамической системы (М, ?, ip). Такие инварианты называются спектральными. Интерес к ним вызван, в частности, тем, что можно найти полную систему спектральных инвариантов оператора U: меры и спектральные кратности (относительно этих понятий см. Халмош [3]). Например, спектр оператора U есть спектральный инвариант4.
Наоборот, операторы UmU' двух динамических систем могут быть эквивалентны (о таких системах говорят, что они одного и того же спектрального типа) без того, чтобы эти системы были изоморфными (см. гл. 2, § 12. Энтропия. См. также о «косых произведениях» Анзаи [1] в приложении 15).
4B непрерывном случае, если Ut — индуцированная унитарная группа, то спектр Ut есть спектр ее инфинитезимального оператора, а также спектр, связанный с разложением единицы Е, для которого по теореме Стоуна
+ OO
Ut- J e2niX dE(А).
-oo § 9. Спектральные инварианты
31
Ниже мы приводим несколько примеров эргодических свойств, которые допускают точный перевод на спектральный язык.
Теорема 9.7 (Эргодичность). Система (М, //, ip) эргодична в том и только том случае, если 1 — простое собственное число индуцированного оператора U.
Доказательство.
Если / принадлежит L2(M, fi), то / инвариантна тогда и только тогда, когда Uf = /. Но р эргодично тогда и только тогда, когда все инвариантные функции постоянны п. в. Поскольку постоянные п. в. функции отличаются друг от друга с точностью до умножения на константу, ір эргодично тогда и только тогда, когда подпространство решений уравнения Uf = f имеет размерность 1.
В непрерывном случае эргодичность ipt эквивалентна тому, что собственное число A = O имеет кратность 1 в спектре Ut- Ш
Теорема 9.8 (Перемешивание). Динамическая система (M, у,, ір) обладает свойством перемешивания в том и только том случае, если при любых f,g Є L2(M, ?)
lim (Ut / І я) = (/ I 1) • (1 I g) ¦ (9.9)
T—> oo
Доказательство.
Если / и g — характеристические функции подмножества многообразия М, то (9.9) сводится к определению перемешивания (8.2). В общем случае функции / и g могут быть аппроксимированы линейными комбинациями характеристических функций, и мы снова возвращаемся к предыдущему случаю. ¦
В спектральных терминах ясно, что система (М, /х, ipt) обладает перемешиванием, если она эргодична и спектр Ut (за исключением A = O) абсолютно непрерывен относительно меры Лебега. Обратное утверждение неверно. Мы говорим, что эргодическая динамическая система имеет собственно непрерывный спектр, если константы являются единственными собственными функциями операторов Ut- Можно доказать, что для того, чтобы эргодическая динамическая система имела собственно непрерывный спектр, необходимо и достаточно, чтобы она была слабым перемешиванием (см. примечание 8.9).
Рассмотрим теперь случай, когда спектр операторов Ut дискретен. 32
Глава 2
Пример 9.10. Пусть M = {z \ z Є с, \z\ = 1} — окружность, снабженная обычной мерой /х,
V = 9-z, в=е2™ш, UJ Є IR
сдвиг на М. По определению оператора JJ,
Uz1' = (Uz)p = в1' ¦ Z1', где р?І.
Таким образом, Zp — собственные функции оператора U с соответствующими собственными значениями вр. Множество {zp \ р Є Z}, называемое дискретным спектром оператора U, образует полную ортонорми-рованную систему в Ь2(М, /х). Тем самым мы приходим к следующему определению.
Определение 9.11. Динамическая система (М, fi, ір) есть система с чисто точечным спектром, если собственные функции индуцированного оператора U образуют базис в L2(M, /;,).
Вернемся к примеру 9.10. По теореме 9.7 эта система эргодична в том и только в том случае, если 1 — простое собственное значение. Таким образом, необходимое и достаточное условие эргодичности заключается в том, что
puj ?. Z при р ф 0,
т.е. число LJ должно быть иррациональным. Иначе говоря, наша система (M, р, ір) эргодична в том и только том случае, если траектории плотны на M (см. пример 7.8 и приложение 1). В этом последнем случае все собственные значения вр различны и просты. Наша система не перемешивающая, так как, полагая в (9.9) / = g = zp, мы получаем
(Unzp I zp) = врп ф (Л 1) (1 I f). Если р ф 0, то Iim врп не существует и условие (9.9) не выполняется.
