Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Определение 10.2. Пусть (М, //,, tp) — абстрактная динамическая система, U — индуцированный унитарный оператор. Говорят, что эта система обладает лебеговским спектром L1, если существует полный ортонормированный базис пространства L2(M, /і), образованный функцией 1 и функциями fi7j (і Є I, j Є Z) такими, что
Тогда мощность множества / однозначно определена; она называется кратностью лебеговского спектра. Если множество / (счетно) бесконечно, то лебеговский спектр называется (счетно) бесконечным6. Если множество / состоит из одного элемента, то лебеговский спектр называется простым. Аналогичное определение имеется и в непрерывном случае.
Пусть (М, /х, іpi) динамическая система, Ut однопарамет-рическая группа индуцированных унитарных операторов. Говорят, что эта система имеет лебеговский спектр кратности I, если каждый оператор Ut (t ф 0) имеет лебеговский спектр кратности I.
Замечание 10.3. Эта терминология возникла следующим образом. Рассмотрим спектральное разложение оператора Ut, задаваемое теоремой Стоуна:
Система (M, ц, <pt) имеет лебеговский спектр в том и только том случае, если мера (E(X) f | /) абсолютно непрерывна по мере Лебега при любой
Теорема 10.4. Динамическая система с, лебеговским спектром обладает перемешиванием.
Доказательство.
По теореме 9.8 необходимо доказать, что для всех /, g Є L2
Ufij = fij+1 для любых г, j.
+ OO
— ос
/ Є L2(M, I1), (f I 1} = 0.
lim (Unf\g) = (f\l)-(l\g).
6TaKCifi спектр принято называть счстнократным лебеговским. — Прим. ред. § 10. Лебеговские спектры
37
Это эквивалентно тому, что для каждых fug из ортогонального дополнения к функции 1
Iim (Un f\g) = 0.
в—>оо
Достаточно доказать это для случая, когда / и g являются базисными векторами. Если / = f{j, g = /?^, то
(Unf\g) = (fi,n+j\fk,r},
где правая часть равна пулю, если к ф і или если п достаточно велико. Общий случай может быть выведен из рассмотренного нами с помощью непрерывности и линейности. ¦
Следствие 10.5. Автоморфизм (р(х, у) = (х + у, х + 2у) (mod 1) тора
M = {(х, у) (mod 1)}
(см. пример 1.16, гл. 1) имеет лебеговсмий спектр (см. пример 10.1). Следовательно, <р(х, у) есть перемешивание и, таким образом, эргоди-чен, (см. следствие 8.4).
Пример 10.6. Схемы Бернулли имеют бесконечный счетный лебегов-ский спектр и, следовательно, все принадлежат к одному и тому же спектральному типу.
Доказательство.
Докажем это утверждение для 5(1/2, 1/2); те же рассуждения остаются в силе и для B(pi,... ,рп) с точностью до обозначений. Напомним (см. пример 2.2, гл. 1), что M = Z2, где Z2 = {0,1} — это пространство последовательностей
т, = ..., то_і, тп,о, тої, ...; TOi Є {0,1}.
Выберем в качестве ортонормированного базиса в пространстве Z2(Z2,/і), связанном с n-м экземпляром Z2, функцию 1 и функцию
J-I при x = 0, Уп(х)=<
I + 1 при x = 1.
Базис для ортогонального дополнения L'2(M, р) к функциям-констан-там на L2 (М, ц) мы получим, взяв конечные произведения функций уп с различными индексами:
Упі.....Упк ¦ 38
Глава 2
Пусть U — унитарный оператор, индуцированный сдвигом уз: га га' = і при любых г). Назовем два элемента из построенного базиса эквивалентными, если некоторая степень оператора U переводит один элемент в другой. Тогда базис разбивается па счетное множество классов эквивалентности. Каждый такой класс эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с Z: действие оператора U на класс переводит элемент, соответствующий п Є Z. в элемент, соответствующий п + 1.
Следовательно, в L'2(M, /і) существует полный ортонормирован-ный базис еРід, р Є Z+, q Є Z такой, что
Uep,q = eP7q+i при любых р, q.
Число р указывает номер класса эквивалентности, a q Є Z — номер элемент ер, д в соответствующем классе. Следовательно, 5(1/2, 1/2) имеет счетнократный лебеговский спектр.
Пусть М(М1,М(М2,ц2,<р2) две схемы Бернулли. Тогда существуют полные ортопормировапные базисы {1, Zj17-) и {1, ffj}, соответственно, на L2(Mi, fix) и L2(M2, fi2) такие, что
Uiflj = flj+i, U2flj = flj+1 при любых г',і. Изометрия L2(Mi, ці) на Ь2(М2, ц2), определяемая соответствием
показывает, что две наши схемы Бернулли одного и того же спектрального типа. ¦
§ 11. if-системы
В этом разделе мы намереваемся определить один класс динамических систем с сильно вероятностными свойствами. Определение 11.17. Динамическая система (М, ц, уз) называется if-системой8, если существует подалгебра9 21 алгебры измеримых множеств (mod 0) 1 (см. приложение 6) такая, что
'Относительно обозначений С, Л, V и т.д. см. приложение 17. Рохлин придер-
живается следующих (стандартных) ойояначений: 1 = ЯП, 0 = Cl.
8A. Н. Колмогоров [2] ввел этот класс систем под названием «квазирегулярные системы».
93десь и в дальнейшем речь идет о сг-алгебрах. § 11. К-системы
39
a) 21 С ?>21,
OO
b) П tpnQl = 0, где О — алгебра множеств меры О или 1,
п— — ос
ОС'
c) У ipn<Ql = 1, где ір, если воспользоваться неточностью речи, —
га= —ос
автоморфизм, индуцированный tp на 1.
