Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
sup h(a'. tp') = sup h(a, уз).
Приведем способ вычисления h(tp). Определение 12.25. Образующее разбиение относительно автоморфизма. Пусть а — измеримое разбиение, конечное или счетное, ЯЛ(а) — порождаемая а измеримая алгебра. Говорят, что а — образующее разбиение относительно tp, если
\j tpnm(a) = 1.
п= — оо
,14
Теорема 12.26 Колмогорова . Если а — образующее разбиение относительно tp, то h(tp) = h(a,tp).
Доказательство см. в приложении 19. Приведем примеры применения этой теоремы. Пример 12.27. Схемы Бернулли.
Энтропия схемы Бернулли В (pi, ... , Pu) есть величина
к
K1P) = -Ypilogpi-
г=1
4Cm. А.Н.Колмогоров [2], [4], Синай [7], [8]. 48
Глава 2
Доказательство.
Пусть В(рі, ... , Pu) схема Бернулли. Алгебра 1 порождаема множествами
Aj = {та I пц = j}, j Є Zik, і Є Z. Рассмотрим разбиение a = {Ag, і = 1, ... ,k} из примера 12.22. Так
OO
как <рпАд = Atn, алгебра \J ірпШ(а) содержит все множества, пота=—со
рождающие алгебру 1. Следовательно, а — образующее разбиение относительно ip, и теорема следует из 12.22 и 12.26. ¦
Следствие 12.28.
1) Для любого неотрицательного числа а, существует абстрактная динамическая система, а именно схема Бернулли, энтропия которой равна а.
2) Мы видели (пример 10.6), что все схемы Бернулли принадлежат к одному и тому же спектральному типу. Так как эти схемы могут иметь различные энтропии, а энтропия — инвариант, псно, что существуют абстрактные динамические системы, которые не изоморфны, но принадлежат к одному и тому же спектральному типу.
Существует гипотеза о том, что если две if-системы принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одной и той же энтропией, то они изоморфны. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них гомоморфна другой (Синай [9]).
К этому же кругу вопросов относится и результат Мешалкипа [1]: B(pi, ...) и B(qi, ...) изоморфны, если обладают одной и той же энтропией и если pi, qi — отрицательные степени одного и того же целого числа.
Например, схемы Бернулли В(У2, У8, Y8, V8, V8) и -B(V4jV45Y^Y4) изоморфны. Блюм и XaiicoiI [1] обобщили этот результат.
Пример 12.29. Автоморфизмы тора. Если ip — эргодический автоморфизм тора {(ж, у) (mod 1)}:
<р{х, у) = (ах + by, сх + dy) (mod 1), ad — be = 1,
то, как показал Синай [7], его энтропия равна
/^=IogIA1I, § 12. Энтропия
49
где Ai — собственное значение матрицы
а Ъ с d
модуль которого больше 1.
В более общем случае, если (р — эргодический автоморфизм г-мер-ного тора Tr = Ж jll и матрица <р имеет г различных собственных значений Ai, ... , Af., то
h(v) = Ys loS Iа» I'
|А;|>1
(см. Генис [1] и исправление Абрамова [1]).
Следствие 12.30 (См. гл. 1, пример 4.4.). Динамические системы на T2, задаваемые матрицами
1 1\ /3 1 12) U у2 1
не изоморфны.
Динамические системы, задаваемые матрицами
3 1\ /3 2
2 і] И (l 1
принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одинаковой энтропией. Неизвестно, изоморфны ли они. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них является системой-фактором другой (Синай [9]).
Теорема 12.31. Энтропия К-смстем15. Энтропия К-системы положительна.
Доказательство.
По определению 11.1, существует подалгебра 21 алгебры 1 такая, что _
со oo
O= р| <pn2l С • • • С 21 С </з21 С • • • С \/ <рпЯ. = 1.
5A. Н.Колмогоров [4]. 50
Глава 2
Докажем, что в 21 существует конечная подалгебра © такая, что \J <рк(В D \J ipk(S для n > n'\ n, ті Є Z. (12.32)
к-^-п k^n*
Предположим, что для конечной подалгебры QS Є 21 существуют целые числа п, п' такие, что п > п' и
V V*® = V V*®-
к ^ и к^-п'
Так как (М, ?) — лебегово пространство, существует возрастающая последовательность QSi С QS2 С • • ¦ С 21 конечных алгебр QSj таких, что _
V ®i = а-
Из принятого нами предположения следует, что
= V ® І
AsgO
при всех і. Следовательно,
<pnoi =V^a = V^n( V = \Л V =
Jfe^re і і fc^O
и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь ? — конечное разбиение, порождающее QS (см. определение П18.5). Из 12.21 мы заключаем, что
h(<p) ^ h(?, tp) = lim hi? I ip~l? V • • • V f~n?).
п—їсO
Последовательность ip~ 1?, tp^? V <p~2?,... —невозрастающая, поэтому (см. (12.9))
K<p)>h(? I V
fcs;-i
Достаточно доказать теперь, что
h(?\ V Vk?) >0-
/г<-1 § 12. Энтропия
51
Если предположить, что имеет место равенство нулю, то из (12.6) мы получили бы
? =? V Vk ? (mod 0)
Asg-I
и, следовательно,
V <f? = ? V ( V cpk?) = V ?,
Asg 0 Asg-I fcsg-1
T. e.
\,V® = V V*®'
AsJO AsJ-I
что противоречит (12.32). ¦
Замечание 12.33. Гирсанов [1] привел пример динамической (не классической) системы с нулевой энтропией и бесконечным лебеговским спектром. Но это — не ЕГ-система.
Гуревич [1] показал, что орициклический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет бесконечный лебеговский спектр, но нулевую энтропию. Следовательно, это классическая система с лебеговским спектром, но она не является ііГ-системой.
