Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Упомянем теперь о некоторых проблемах теории динамических систем. 18
Глава 1
Рис. 2.4
§ 3. Проблемы вычисления средних
Пример 3.1. Занимаясь теорией движения планет, Лаграпж [1] пришел к следующей задаче: вычислить (если он существует) предел
о
lim \ Arg V^
t-УОО t 0 ^
ак е
jfe=i
где аи > 0, au и LOk — действительные константы, a Arg^ означает «аргумент комплексного числа г».
Пример 3.2. Свяжем с последовательностью {2™ | п = 1, 2, ...} последовательность первых цифр десятичной записи ее членов:
1, 2, 4, 8, 1, 3, б, ...
Пусть т(7, N) — число, показывающее, сколько раз цифра 7 фигурирует среди N первых членов построенной последовательности. Требуется вычислить предел (если он существует)
Iim
N-у оо
-(7, N) N
¦Pi-
Пример 3.3. Пусть D — область риманова пространства, 7(t) — геодезическая. Чему равно среднее время, которое -у(st) проводит в Dl Другими словами, пусть
т(Т) = мера{і I 0 < Т, j(t)eD}
и требуется вычислить предел (если он существует)
Ilm ™
T^ OO T 4¦ Проблемы классификации
19
Три предыдущие задачи являются частными случаями более общей задачи:
Пусть / — комплскспозпачпая, //-измеримая функция, определенная на пространстве M динамической системы (М, ц, tpt). Требуется вычислить предел (если он существует)
т
Iim ^ / f(ifit т) dt, где т Є М.
T-too 1 J о
В примере (3.3) / является характеристической функцией TiD. Само собой разумеется, что существуют и другие задачи вычисления средних.
Пример 3.4. Пусть (М, /i, ipt) — динамическая система, А и Л — два измеримых множества мпогобразия М. Требуется вычислить предел (если он существует)
Iirn ух Г CfitA П Ul
(—»¦со L J
(см. рис. 1.17 и 2.4).
Предполагается, что для «достаточно стохастических» систем этот предел равен ?(A) ¦ ?(B).
§ 4. Проблемы классификации. Изоморфизм абстрактных динамических систем
Для того, чтобы провести классификацию динамических систем, естественно искать их инварианты относительно соответствующей группы: группы аффинных преобразований для геодезических потоков, группы канонических преобразований для гамильтоновых систем, группы сохраняющих меру диффеоморфизмов для классических систем. Абстрактные инвар^цпты имсій^г более гіщбокий смысл и задаются следующим определением.
Определение 4.1. Две абстрактные динамические системы (М, ц, ip) и (M', //, Cfi') изоморфі|Ьі,^е<Зли существуетіиз^морфизм f: M —> M' (mod 0) измеримых пространств такой, что нижеприведенная диаграмма коммутативна.
M' ^ M' 20
Глава 1
Аналогичное определение мы получим, если уз заменить на щ. Пример 4.2. Схемы Вернули |, |, и изо-
морфны (см. Мешалкин [1], Blum and Hanson [1]).
Пример 4.3. Преобразования тора (1.15) не изоморфны автоморфизмам тора (1.16) (см. гл. 2, 12.40).
Пример 4.4. Рассмотрим на торе T2 = {(ж, у) mod 1}, снабженном метрикой dxdx, автоморфизмы <р и ip':
<р(х, у) = (Зж + у. 2ж + у) (mod 1), ір'(х, у) = (Зж + 2у, x + у) (mod 1).
Они оба неизоморфны автоморфизмам из примера (1.16) (см. гл. 2, следствие 12.30), однако вопрос об изоморфизме систем (М, ?, ip) и (М, //,, tp') до сих пор остается открытым.
Пример 4.5. Схема Вернули В(J^, изоморфна преобразованию пекаря (доказательство см. в приложении 7).
Одна из фундаментальных проблем эргодической теории состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, при которых две схемы Бернулли изоморфны.
§ 5. Проблемы общего случая
Принимая во внимание разнообразие динамических систем, можно ожидать, что ситуацию удастся прояснить, если пренебречь «исключительными» случаями. Чтобы придать смысл понятию «исключительные», группу автоморфизмов можно снабдить топологией или мерой. Некий класс динамических систем может быть исключительным в абстрактных рамках и общим — в рамках классических или наоборот. Пример 5.1. Существуют абстрактные динамические системы, не реализуемые диффеоморфизмами компактных многообразий (см. гл. 2,12.39).
Пример 5.2. Системы с «перемешиванием» в абстрактных рамках принадлежат к числу исключительных в смысле слабой топологии (см. Халмош [1], Рохлин [1]). Наоборот, все диффеоморфизмы, близкие (в С1-топологии) к автоморфизму тора из примера 1.16, «перемешивающие» (см. [3]). § 5. Проблемы общего случая
21
Следовательно, в классических рамках «перемешивание» может быть общим случаем.
Пример 5.3. В абстрактных рамках эргодические системы являются общим случаем в смысле слабой топологии (см. Халмош [1]). Наоборот, гамильтоновы системы на H = const, окрестностях геозедического потока па торс (см. приложение 2), пе эргодичпы. См. также систему трех тел (гл. 4).
Таким образом, в классических рамках эргодичность не является общим случаем.
Общая литература к главе 1
[1] R,. Abraham, Foundation of Mechanics. Benjamin, 1967.
[2] Д. Д.Биркгоф, Динамические системы. M.-JL: ОГИЗ, 1941.
[3] С. Godbillon, Geometrie differentielle et mecanique. Hermann, Paris, 1968.
[4] P. R. Haimos, Measure Theory. Chelsea, New York, 1958.
