Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
[5] P. R. Haimos, Lecture on Ergodic Theory. Chelsea, New York, 1959.
[6] E. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика. ОНТИ НКТП СССР, 1937. Глава 2 Эргодические свойства
Для описания свойств орбит в метрической теории динамических систем вводится целый набор понятий: эргодичность, перемешивание, спектр, энтропия и т. д. Определения этих понятий приведены в данной главе. Их приложения к описанию классических систем см. в главах 3 и 4.
§ 6. Временные и пространственные средние
Определение 6.1. Временное среднее. Пусть (М, /i, (fit) — динамическая система. Временным средним (если оно существует) функции / на M по определению называется величина
W-I
f*(x)= lim і У ї?І, пЄ Z+ (6.2)
№->+оо Jy
в=0
в дискретном случае и величина
т
Г (яг)= lim і [ f(<ptx)dt, хЄМ, (Єї (6.2)'
Т—> + 0С 1 J О
в непрерывном случае.
Определение 6.3. Пространственное среднее. По определению, пространственным средним называется величина
J = [ f(x)dfM Jm
(напомним, что р(М) = 1). § 7. Эргодичность
23
Теорема 6.4 (Дж.Д. Биркгоф — А.Я. Хинчин1). Пусть (M,?,tpt) — абстрактная динамическая система, f Є L1^M, ?) — ?-суммируемая комплекснозначная функция на М. Тогда:
a) f*(x) существует почти всюду (сокращенно: п. в.), т. е. всюду, за исключением, может быть, множества меры нуль;
b) f*(x) —?-суммируема и инвариантна п. в., т.е. f*(iptx) = f*(x) при всех t, за исключением, может быть, множества меры нуль, независимо от t;
Для дискретного случая доказательство можно найти у Халмо-ша [1], а для непрерывного — у Немыцкого и Степанова [1].
Замечание 6.5. Временное среднее /* может не существовать или не быть равным пространственному среднему f(x) на множестве, всюду плотном в М, даже если / — аналитическая функция и (М, fi, tpt) — классическая система (см. примеры 1.2 и 1.15, а также приложение 8).
Замечание 6.6. При сдвигах на торе (гл. 1, примеры 1.2 и 1.15) /* существует всюду, если функция / непрерывна или интегрируема в смысле Римана (см. приложение 9).
§ 7. Эргодичность
Определение 7.1. Абстрактная динамическая система (М, іpt) называется эргодической. если для любой ^-суммируемой комплексно-значной функции / ? L1 (М, ?) ее временное среднее равно ее пространственному среднему п. в.:
Таким образом, для эргодической системы временное среднее не зависит от начальной точки х.
Г(х)=Пх) п. в.
(7.2)
1 Относительно приложений этой теоремы в дифференциальной геометрии см. приложение 10. 24
Глава 2
Пример 7.3. Пусть M объединение двух непересекающихся множеств Mi и M2 положительной меры и инвариантных относительно ip (см. рис. 7.4):
IpM1 = Mu tpM2 = M2.
M1 M2
Рис. 7.4
При этих условиях принято говорить, что система (М, р, ір) разложима. Разложимая система не эргодична, поскольку, если положить
Г 1 при X Є Mu l(x) = <
[ 0 при ж Є M2,
то временное среднее /* = /(ж) зависит от ж.
Замечание 7.5. Верно и обратное утверждение: если система (М, р, ip) не эргодична. то она разложима.
Действительно, если система не эргодична, то существует функция /, временное среднее f*(x) которой зависит от ж и отлично от константы почти всюду.
Положим
М1 = {х\ Г(х) <а}, М2 = {х\ Г(х)>а}.
При подходящем выборе а справедливы неравенства
P(M1) > О, P(M2) > 0.
По теореме Биркгофа временное среднее инвариантно относительно ip, следовательно,
IpM1 = M1, LpM2 = M2, и паша система разложима.
Следствие 7.6. Абстрактная динамическая система эргодична в том и только том случае, если она неразложима, т. е. если все инвариантные измеримые множества имеют меру 0 или 1. § 7. Эргодичность
25
Приведенное выше рассуждение доказывает также, что система эргодична в том и только том случае, если любая инвариантная функция / Є Li(M, ?) постоянна п. в.
Пример 7.7. Гамильтонов поток (гл. 1, теорема 1.11) никогда не бывает эргодическим, поскольку энергия H инвариантная функция. Тем не менее, геодезический поток на унитарном касательном расслоении в некоторых случаях может быть эргодическим (см. гл. 3, 17.12). Однако если V обычный тор, то геодезические потоки на TiV неэргодичны, поскольку функция ф(\-\-г cos ф)2 является инвариантом (см. приложение 2)2.
Пример 7.8. Вращение tp: х —У х + a (mod 1) окружности M = = {х (mod 1)} эргодично в том и только том случае, если число а иррационально.
Доказательство.
Пусть сначала число а рационально. Положим a = p/q. р, q Є Z, q положительно и взаимно просто ср. Поскольку функция f(x) = e27riq!C инвариантна, отлична от константы и измерима, то система (М, ?, ір) не эргодична.
Теперь предположим, что число су иррационально. Пусть а — множество с положительной мерой, инвариантное относительно ip: в дальнейшем мы докажем, что ?(A) = 1. Поскольку ?(A) > О, А содержит точку накопления Жо, т.е. при любом є > 0 найдется интервал I = (хо — S, Xq + (5) (длина которого зависит от є) такой, что
?(Anl) Z (1 - є),і(І).
Из инвариантности А и ? получаем
H(AnipnI) Z (1 -є)ц(<рпІ).
Таким образом, если пі, ... , п/. такие целые числа, для которых отрезки р>П11, ... , ірПкІ не пересекаются, получаем
