Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
U=OO
Этот результат допускает непосредственное обобщение на п-мерный тор.
Приведенный пример наводит на мысль о следующей теореме.
Теорема 9.12. Пусть (М, fi, tp) — эргодическая динамическая система, U — оператор, индуцированный диффеоморфизмом tp. Тогда: § 9. Спектральные инварианты
33
a) абсолютная величина любой собственной функции оператора U есть константа п. е.;
b) каждое собственное значение просто-,
c) множество всех собственных значений оператора U образует подгруппу окружности {z \ Z Є С, \z\ = 1};
d) если система (М, /х, ір) перемешивающая, то единственное собственное значение равно 1.
Доказательство.
Пусть / — собственная функция, отвечающая собственному значению А:
Uf = Xf.
Так как U — унитарный оператор, |А| = 1; следовательно, U\f \ = |/|. Отсюда мы заключаем, что величина |/| инвариантна; поскольку система эргодична, это означает (см. следствие 7.6), что
I/I = const п. в.
В частности, / /Оп.в.и |/|2 Є L2(M, /і).
Пусть h другая собственная функция, отвечающая тому же собственному значению А, что и /. Поскольку / ф 0 п. в., то можно составить отношение J Є Ь2{М, ?) и убедиться, что
jj(h\ = Uh = Xh = h Ч> Uf Xf Г
Следовательно, j — инвариант. Поскольку система эргодична, делаем вывод, что
h = const • / п. в.
Таким образом, собственные значения простые, что доказывает (Ь).
Из того, что Uf = Xf, мы заключаем, что Uf = Xf: следовательно, А = А-1 — собственное значение. Пусть /і — некоторое собственное значение, g — соответствующая ему собственная функция. Тогда
U(f ¦ g) = Uf -Ug = (X?)(f ¦ g).
Следовательно, А/х собственное значение. Это доказывает (с). 34
Глава 2
Наконец, если система (М, //,, tp) — перемешивающая, то, выбирая в качестве / и g в (9.9) собственную функцию, отвечающую собственному значению Л, получаем:
Iim (Un f I /) = (/ I 1) • <1 I /),
п—>оо
Iim An = const.
п—»-ОО
Таким образом, A=I. Это доказывает пункт (d). ¦
Перечисленные выше свойства дискретного спектра имеют аналогии среди свойств непрерывного спектра (Синай [2], [3]). Ясно, что группа собственных значений есть инвариант динамической системы. Если спектр чисто точечный, то эта группа образует полную систему инвариантов. Точнее, справедлива следующая теорема. Теорема о дискретном спектре 9.13 (фон Нейман, Халмош).
a) Две эргодические динамические системы с чисто точечными спектрами изоморфны в том и только том случае, если они обладают одним и тем же спектром.
b) Любая счетная подгруппа окружности {z\z?<C, \z\ = 1} есть спектр некоторой эргодической системы с чисто точечным спектром.
Доказательство см. у Халмоша [1]. Оно сводится к доказательству того, что эргодическая система с чисто точечным спектром изоморфна компактной абелевой группе, на которой действует вращение.
Эта теорема показывает, что в случае дискретного спектра проблема классификации полностью решена. С другой стороны, неизвестно, например, существуют ли классические системы, реализующие данный дискретный спектр (или лебеговский конечной кратности5). Некоторые результаты на эту тему приведены в приложении 16.
§ 10. Лебеговские спектры
Начнем с рассмотрения примера. Пример 10.1. Вернемся еще раз к примеру 1.16 из гл. 1: M — тор {(.т, у) mod 1}, снабженный обычной мерой, автоморфизм определяется соотношением
ір(х, у) = (х + у, X + 2у) (mod 1),
''Определение см. в § 10. § 10. Лебеговские спектры
35
U — оператор, индуцированный автоморфизмом tp. Хорошо известно, что множество D функций
{ep,q(x, у) = p,qez},
образует полный ортонормированный базис в L2(M, р). Множество D может быть отождествлено с решеткой Z2 = {(р, q)} С Ж2. Поскольку
UCp,q — Cp+q,p+2qi
то оператор U индуцирует на D автоморфизм и: и(р, q) = ІР + q, P + 2q).
Докажем, что (0,0) — единственная ограниченная траектория автоморфизма и. Предположим, что (р, q) Є Z2 принадлежит ограниченной траектории. Тогда существует целое число к такое, что ик{р, q) =
= (Р, последовательно, если К корень к-й степени из единицы, то
Kk'1 (р, q) + Кк~2и(р, <?)+••• + Uk-1Ip, q)
— собственный вектор автоморфизма и с собственным значением К.
Но собственные значения автоморфизма и являются собственными значениями матрицы
и не являются корнями из единицы. Отсюда следует, что (р, q) = (0,0) и что Z2 \ {(0,0)} разлагается на множество I орбит автоморфизма и, и каждая орбита находится во взаимно однозначном соответствии с Z.
Но вернемся к D = {вр^д I р, q Є Z}. D \ {єо.о} разлагается на орбиты автоморфизма U: С±, C2, • • •, Ci,...; і Є I. Если До Є С,;, то можно записать
Ci = {/<,„ |neZ},
где Дп = Unfifi. Подводя итог, можно сказать, что Hi — пространство, порожденное векторами орбиты С,;, и L2(M, р) — прямая сумма пространств Hi и одномерного пространства функций-констант, порождаемых Є();о. Каждое из Hi инвариантно относительно U и обладает полным ортонормированным базисом {An| | п Є Z} таким, что
— fi.n+1' 36
Глава 2
Эта ситуация встречается достаточно часто для того, чтобы оправдать следующее определение.
