Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Л / М т"» аь +1 °„ + 1 63. Легко заметить, что |] 1 + — = | \ ~-= -0—--
Индукцией по я: а„ = я + л(л — 1) + ... + я(я — 1) ...2 + + я (н — 1) ... 2-1, так что искомый предел равен
lim I + 1 +
J_ 2\
J_ З!
+
¦¦¦ ' я!j
^ Е А. Садовничий. А. С. Подьолзнн
81
С5. Пусть ;/(т) = arctg г. При х = О ;/(.<) = 0; щт/х > О v'(x) = 11(х'*-\- 1) <. 1. так что при х > О j(r) < j. Ншгому последовательность {.г,,} мотто lomio убивает; дли каждого а г» > 0, Tai; что существует lini{x„} = а. Перехотя к пределу в
юотношенип Xn + i = arctg хп (что bojmoh.uo в силу п/прерывно-CTU на (—оо, +ио)). имеем и = aivtgo. о'гку ui a =f 0.
(17. Достаточно рассмотрен, случай л ^ 0. При х =? 0 искомый предел ранен и. Пусть .г ~> 0. Если » «С 0, ю, взнн пвслеаователь-ностг., cooiBCTCгвмощ>ю —« (обозначим ее {z„}),/будем иметь "и = (—1) "~,!/н- Поэтому достаточно рассмотрел/ о ^ 0. При (I а sCl имеем ;/„ Si 0, p„ . [= и sin ;/„ «С !lni т. е. предел существует п может быть найден |ы уравнении у = a sin ;/; он равен 0. При К я ^ я/2 уравнение ;/ = a sin // имеет ненулевое решение у*. Легко проверить, что при .т < //* последовательность {;/„} монотонно возрастает и стремится к ;/*. оставаясь мепыпи, чем г/*, а при х > ;/*— стремшся к ;/*, монотоппо убывая. Таким образом, Jim (/„ = (/* при « > J; lim у„ = 0 при — 1 а < 0; при
и < — 1 предел не существует.
G9. Имеем 2л,„! = 2л„! (l f 1 '-...+ + /?п+1),
ГдеА"+1 = (^Г2УГ' u<u<1' т- е- 2™ie=W+J?l- +
+ О ^7jrj> гДе Л' — целое; я sin (2пеп\) = nsin ^~TTJ +0 i^^s"jj =
/ 2л / I \\
— « ^I. j " 0 I я + I )/' I|T,» гтремптся i; 2л прпл->-оо.
71. Очевидно, xn -> 0 и монотонно убивает Имеем
inn
A- = if- L it где ^ ¦*°-0тгюяп -y = Л-+Чг+
_3 V
II
i/jj —» 0 как последовательность средних арифметических.
/^2
з
Отсюда —что и требовалось.
82
ТЗЛПусть лп — а + ап, !/п = Ь + Р„, где а„,р„-»-0 при
к -*¦ оо. Тогда
+ «Л.я + а.Рп-1+...+«вР* = + втг., + Ьу,Я + т(3). л
\
Докажем, что 7^2', т^3) стремятся к 0 при л —>- оо. По е >0
найдем такое по, что при и > п0, |Р„| < е. Тогда] I''1'[ ^ Р.+ -..-Г Р„
+ е. Выберем Л' так, чтобы при к > Л' первое
слагаемое было меньше е. Тогда | у^1' | < 2н при л > Л'. Аналогично доказывается, что^' О.Так как {а,,} — отраниченная после-
довательшхчь, то для некоторого с имеем |а„|< с. Тогда 11'5,3)|^
< с- ^ 0. ибо | Р „ | — 0.
I „(») _ 0<«} I
75. Имеем | — а^."+1) | — \—\-—I—обозначив
я У'' - в^», = - = о\р - , полу чип, что
0 при п-*- оо. Далее, так как в«»+1) + 4"+П + ву.+ 1) = „(") + й00 + „0/0 = 0(1) + в(1) + в^)=Л.
то
4») = -і- (л + bW_ Ь<2"1) и lim a<») - -j-A.
77. Очевидно, достаточно доказать, что число таких I, что я,->• і. бесконечно. Пусть это но так, т. е. начиная с некоторого N выполняется а,- ^ і. Пусть тлх(171) = М. Рассмотрим числа «і,
02, • ¦ •. атацм Ну Каясдое пз них не превосходит тах (Л/, Л'), причем все они различны и каждое «і больше единицы, откуда п вытекает противоречие.
79. Рассмотрим возрастающую последовательность Н|< л2<... такую, что при 1 ^ / ^ т и к > п,„ од > т2, и положим Ък= т при пт-|- к ^ пт+[. Тогда при / и ит-)-1^А:<
пт+| Ьц/яі» < т/т2 = 1/т, так что Ііш-— = 0. С другой
к-*ао у/ч
стороны, очевидно, ІІШ Ь), = оо.
>
81. Заметил, что к'+ВР+Ш +3 = (к + 1) (к + 2) (А- -УЗ) — 1 т. е. рассматриваемая сумма есть
S = V (-L - 1 , A 1 4- 1 ¦ 1 1 J
1
т. е. 5rl-.l+^+i- = 4
L 4- J_ = 5 2 Т 6 "3
83. В разложения (2 4- |'з~)" = J С* (l 3 )* 2"-*
i _1
I« + 2)! (я -г 3)1 '
выделим
сумму А„ членов, соответсгвуюших чегяым к, и сумму_В„ членов с нечетным ft, т. е. (2+}3)" = А,.+ В„. Очевидно. (2—\3) "= Л„ — — В„, причем И„> В„ п И„—В„-+0, отсюда В„/Л„->-1. Тан как И „—целое, то В„ с ростом я должно все менее н менее отличаться от целого числа, т. е. {В,,} = В„ — [В„] -*¦ 1, отсюда получаем, что
85. Имеем0<-!<.?, (я =- 1, 2, 3, ...). Следовательно, \ — \ ограничена и существует i очная конечная нижняя грань а =* ini j. Пусть е > 0, тогда существует номер m такой, что
.т е
а< Л^ат--Представив произвольное натуральное п в
m 2
виде я = gm + г, где г s {О, I, ..., m — 1}, найдем хп= x,m+r ^
< + ... + *,„ 4 *г = !1» + *п - ^n+!L < vZil+ZL =
я gwi -г г gm 4 г
/я дя» -j- г я я \ 2 / дяг + г п 2
х s
4 —. Так как 0 ^ г ^ m — 1, то хг ограничено некоторой
константой с н при я > — 0< — < —, а тогда а =S — <
е n 2 я
EP
< а -\---\- —— = атс, так что lim — = а.
2 2 n*jo я
., °° h
87. Пусть — < а < -jp г = [па|- Представим en = V -^у
ft=0
в виде
»I—г я л т г т I о°
v j?i. v л1_+ У ? + ч У iL-
kl «*- kl ^ hl Jmi kl — А!
- St. + s, + s» + st + я».
Имеем
„n-ft+i „n+* _ „ (n -f A-) (я + ft — 1)
я
(я— А--г1)! " (я 4 А)! «3
*(-^)-(-а^)>-"+-Г-',,-+->
при 1 ^ А ^ г, так чю рассматриваемое отношение стремится к 1 при я->-оо и 53 = ?2 + о(52) при я -*• оо. Используя, например, формулу Сгирлинга, нетрудно оценить далее 5|, 5'4. ?5 п показать, что 5| = о(52), 6'4 = о(5'2), 5'5 = о(?2), откуда и будет вытекать требуемое утверждение.
