Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
541. На отрезке [0, 1] заданы п измеримых множеств Ль А2, .... Л„ таких, что сумма их мер больше, чем п — 1:
р(Л.) +и(Л2) + ... + ц(Лп) >п-1.
п
Докатить, что пересечение П А, имеет меру, которая
1=1
больше нуля.
542. Пусть и — неотрицательная счетно-аддитивная функция (мера), определенная на борелевскнх множествах бесконечномерного гильбертова пространства //. Пусть для любого открытого множества Сей р(С) >0 н для любого /е// и борелевского множества Г с// 0(/ + Р) = !>(/')• Доказать, что дчя любой такой меры р мира любого непустого шара бесконечна.
543. Пусть Е — измеримое множество па [0,1), и(Е) > 0. Найти меру множества С:
С== {а?е [0,1): Эпе2, уе? такие, что х = {пу}},
где {а} — дробная часть числа а.
544. Пусть С — группа, я.ЬеС, а5 = с, Ь~"~1 = е, аЪа = Ъа2Ь. Доказать, чго тогда Ъ — е. Здесь е — единица группы, п — некоторое натуральное число.
545. Пусть р — простое число, С — группа всех комплексных корней из единицы степени р", где п — = 0,1,2,..., // — конечная группа такая, что существует гомоморфизм группы С на группу Н. Доказать, чго II = {1}.
71
70
546. Выяснить, существует ли не тождественно равное нулю решение функциональною уравнения (1 + 4х)/(2х) = 2/(х + 2х2), определенное и аналитическое в окрестности пуля.
547. Доказать, что при а, b ^ 1 выполняется неравенство
аЬ < є""1 + b In Ъ. 1
548. Найти максимум функции Х1+Х2 + Х3 на множестве таких точек (х\, х2, хз) е= Нл, что х\х2хз — 1, О < х, ^ h, О < х2 < Л, 0 < х2 < /г, где /г > 1.
54"Э. Доказать, что если р(х)—многочлен с действительными коэффициентами и а <С р\ то на отрезке [сс, fi] не выполняется тоиедественно равенство p(siiix) =cosx.
550. Пусть два многочлена р и я с действительными коэффициентами принимают целочисленные значения в одних и тех же точках. Доказать, что р — q либо p + q есть константа.
551. Пусть }(х) —многочлен с целыми коэффициентами, неразложимый в произведение многочленов низшей степени с целыми коэффициентами. Может ли уравнение /(.t) =() иметь кратные комплексные корни (не действительные)?
552. Дана функция /(х) eOfO, I]. Известно, что ни одна из функций f{h>[x) при А; = 0, I.....т — і не принимает нулевого значения на отрезке [0,1], a І/1'"' (х) | ^ М при всех хе [0,1]. Доказать что
шах 1/И1>7Л-
553. Доказать, что для функции
ОС
/ (х) = е-" cos пгх
ряд Мак.торена сходится лишь в одной точке х = 0.
554. Пусть функция /(х) непрерывна и выпукла на
/ (г)
луче [а, + со), причем ——*¦ + <-о при х->-со. Доказать, что Jsin/(x)c/x СХОДИТСЯ.
и
555. Вычислить lira \ гп \ спЕ,г' dx.
П—эо J (1 + Xі)
72
556. Найти snpl— j р (х) \п р (х) dx \ По всем положительным непрерывным функциям р(х), удовлетворяющим условиям:
j p(x)dx = i, j xip(x)dx = гг (r >0—const).
557. Доказать, что существует такая константа с, что для любой непрерывно дифференцируемой в 12-мерном пространстве R'\ абсолютно интегрируемой по Rn функции /(х), х = (xi,..., х„), все частные производные первого порядка которой ограничены, имеет место неравенство
в"Р |/HI<^(sHp|v/(x)|)"/(n+I)[' f\f(x)\dx
Найти наименьшую такую константу с.
558. Доказать, что функция /(г), аналитическая в круге |г|< 1, непрерывная при |z|^ 1 и принимающая действительные значения на окружности |z| =1, есть тождественная константа: /(z) = с, се/?.
5
550. Пусть <р(г) = ^ —. Доказать, что <р(1 + it) Ф0
для любого действительного t.
560. Пз точки, находящейся на расстоянии 0,1 от центра круга радиуса 1, вылетают во все стороны частицы, отражающиеся от окружности по закону «угол падения равен углу отражения». Нарисовать геометрическое место частиц, прошедших путь 2.
РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
1. При 0^|sinx|<l у[г) = 0; при |sin .т| = 1 у(х) 1,
«/(*)
I при
тг f лл, в 0, ± I, ±2,
[О в противном случае.
График у{х) изображен на рис. 3.
H
J.7
2
Т"
'г
Рис. 4.
3. При х > О /(г) - .-1 ' = «.<'"*>/*, /'(.
(1 — In г)
При.т-»-0 /(.г)->-0; на (0, e) f(i) возрастает до максимального значения е,/е п на (е, + ос) убывает, стремяс! к 1 График /(j) изображен на рис. 4.
S. Рассмотрим поведение у[х) на различных промеж>тках:
1) 0 ^ х < 1:
" /" 7 jj» \п / /i-»\n 1 \
»=Нт V 1 + х"+(у) -lim (Н - +(^J-V) = i-
2) х = 1: » = ^hn -| i + l + K-) '¦
I я"
bil<i<2:y=> unu] 1+— - -^i
Tt *
7. /-
4) x = 2: ;/= lim 1 l-r2"-2 = :
6) — К г < 0: y = 1.
7) —2 <^ г —1 — предел не сущсс1вует.
8) г < -2: г/ = г2'2.
7. Функция I/ = со?(2 arccos .т) определена при —I
А*
Ж
1
Рис. 5.
При всех значениях а, удовлетворяющих этому неравенству, у = cos(2 arec-os x) = 2 cos2(arcccs г) — 1 — 2.1 — 1.
2
(с
i);
9. При х > 1 lim (а- — 1) arctg хп
П —то
прп х = 1 lim (г — 1) arctg хп — 0; прп |*| < 1 lim (г — 1) aictga:" = 0; прп г ^ —1 lim (г— 1) arctg а;" не существует.
График изображен па рпс. 5
М. Имеем у=ех1их, так что прп г-*- + 0 i/(ji-»1—; у(х) -»- + оо при а;-»- + оо. у'(х) = (In х + l)*5" и прп 0 ¦< х < 1/е j/'(ar) < 0; при х > 1/е у'{х) > 0, так что х = 1/е — точка мп-
74
