Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
п
89. Например, у = 1 ctg лх | -j- J ctg
91. Пусть е > 0. Тогда в силу равномерной непрерывности }(х) найдется 1акое б > 0, что для любых х, у > 0 при |х — у\ < 6 имеет место |У(.т) — У(г/)|<е. В частности, это "верно для любых х, у нз б-оьрестносгн нуля, и по критерию Коши liiu/(x) существует.
.-«.-->-Hl
Примером равномерно непрерывной на (0, +°°) функции, для которой не существует lim/(x), является У(.г) = sin х.
93. Такой функцией /(.с) является, например, функция, равная 0 для любого иррационального х, а для рационального х, нред-
Р
ставленного в виде несократимой дроои —, равная д.
95. Рассмотрим произвольную точку (х0; i/o). По заданному е > 0 выберем 6| > 0 так, чтобы ирн \у — уа\ =?5 6| выполнялось \1(хо, i/o)—/(*о. у) I < с/2. Затем в силу непрерывности функцпп по х выберем 62 > 0 так. чтобы при \х — х0| ^ 62 выполнялось ;/o±6i)—/(а;0.г/0 zfc 6|) | < е/2. Без ограничения общности иредположпм, что f(x,y) монотонно возрастает по ?/. Тогда при \х — х0| sS62, \у — уо\ ^6, имеем /(х, i/o — б|) < /(х, у) < ^ f(x, j/o + 6|), причем
|/(х, «o±6i) — /(Хо, <
< |/(^, J/0±6|) — /(Х„, j/o±6|)| + 1/(^о, !/о±6|) —/(х0, j/0)| < е,
откуда |/(х, 1/) —/(хо, j/u)|<e и /(х, //) неирерывна в точке (х0; ?/о) но совокупности переменных.
97. Пусть положение точки на окружности задается углом (р (—оо < ф <С + оо) (т. е. каждой точке соответствует бесконечно много значений ф); тогда функция / есть /(ф) и непрерывна. Рассмотрим #(ф) = /(ф + л) — /(ф). Имеем #(ф + я) = /(ф 4- 2л) — — /(ф + л) = /(ГГ) — /(ф + л) = ?(Ч')- и но теореме о среднем функция #(ф) обращается в 0 на отрезке [ф, ф + л] в некоторой точке г|*: /(ф* + л) = /(ф*), что и требовалось.
99. Имеем
1
1 — СОВ X
limU+zV) =lim
s-»u x-»u
(l + х*ех)
i
lira
1 lim--¦- lim
"77 л *u 1 — cus л
(1 + xV)X
84
101..Имеем
j 1 — е х — ) 1 — COS X 1 siiij;
Vi - (j - x -I Ii {*)) - jA-Jl-^+o (ж2))
у х + о( у*)
что стремится к 1 при A-* + U.
103. Имеем lim (/(*) — (}.х + и.)) = 0, оп;\да >„ аЦщ^-—
(в данном случае А = —1), р = liui(/(j) — Хх) (в данпом случае 105. Имеем
г3 / г3 \
tg ж = ж - -у ¦ - о (х '), tg (tg 0 = tg I jc + -у I о (a'3) I =
х + у + о (я,3) -)- у = х + "у а:3 + °"(lS)> sin ж = г — -g- + о (ж3),
/ ж-1 \ ж3 ж3 ж3
ein (sin ж) = sin I x — -jr -j-o (ж3) I = x — у -f о (ж3) - — у -J-
Ig(lgf) — sin (sin >¦) у" +о(с")
4- о (.я3), т. е. Inn-:-—,- = ]ни -у-= 2.
1 v ' . tir X — Sill X >mi
T" "(ж')
107. Пусть е>0 Выберем 6 > 0 так. чтобы при |ж— j/| <б
(ж, у 3s 0) выполнялось |/(.г) — /(;/) | < е/2. Пусть {г...... л*} —
конечное множество точек отрезка [0, 1] такое, что для каждого я е [0, I] найдется такое i. что |ж —ж,| < 6. Тогда для любого х 0 существует натуральное л такое, что |ж— arj — п| <С 6 прп некотором )'. Пусть |/(а,- + л) | < е/2 при п ^ Л' н для всех I = = 1. А1. Тогда прп х > Л' + 1 для некоторого А-}
имеем |ж — л-, — п\ < 6. где n^N, откуда ]/(г)) ") ] +
109. Предположим, что для функций /к ...,/?. е/ Такой точки не слществуег. Очевидно, /р l /, /2 (») + ... + /2 (ж) е /,
причем ?(ж) = /2 (ж) + ... + /^(f) не обращается в 0 на [о, Ъ]. Тогда функция Vg(x) непрерывна, так что для любой функции Л (ж)
h (г) Л (г)
из а имеем h (ж) 8 (х) 6 /, иоо jj^j е /. Это противоречит
тому, что идеал / собственный.
86
111. Пусть /(г) — четпяя периодическая функция с периодом 2, причем
( 0 при 0<t<l/3, /(0 = 1 линейна на [1/3, 2/3), [ 1 при 2/3<*< 1.
Гиссмотрим функцию <|(i), определенную на [0, 1] и такую, что <Г (*) - 4" / W + IT > (3V1 4г/(ЛМ ... Так как |/(/)|< ^ 1, то ряд .сходится равномерно и <|(') непрерывна, причем 0^ ^ (f(j-)sC 1. Пусть ?/=у ~ 7ПГ тле "« cyib 0 лиоо 1,
a a =(fii, а3, о5, ...) —проняволыши последовательно! гь из 0 и 1. 2п л 2d, 2d 2
Ооп.шачнм "к*" г ~~ Гигда нетрудно проверить,
чго <j (.Tu) == ;/, так что ян.ччение ;/ принимается в ьошппууме точек (ибо различите инборпн « — континуум).
113. Пу'сть хи е И\Е. Тогда paci-Moipini lim /(/¦) = .!,
lini 1(c) =В и для /(<|) выберем ироп.жопьное аначенив к-»\„; л =Е _ _
из [.4. А]. При ху,ф Е рассмотрим точку те Е, лля которой |г —т | минимально (любую, если н\ две), п положим /(,„)= 1(х\. Докажем, что 1(т) непрерывна на Е. Пусть л„еЯ и е > 0. Выберг'м б > 0 так, что при \х — ¦ <,| <6 и з е Е выполнено \J(x)— /(rn) | < < е/2. Пусть \х*—х0\ < Л/2. Если з* е Л', то |/(г*)— /(ти) | < e/J; если ж* S A"\/i, го Пш / (т) > / (rn) — p/2, lim /(.')<
^/(з-г) + 8/2, так что |/(»_*) — /(а,) I ^ е/2 < е. Если, наконец, а* Е, то существует з-isi' такое, что \х* — j,|<6/2 п /(.г*) — — /(xi), но — лги| < 6. откуда снова |/(-г*) — 1(хи) | < е'2 < е.
115 Огвег. V ==¦ 125 м/мни.
117. Имеем
!- cos
; cos
in
cos-fj-
со- у =
1
-.-р + cos
7л
119. Разлагая в ряд со* 2т, получим
2'-г4 24хя 2я.т8 28.('" 2lnr12
2В-КН 910 121 У - 8! 101 2 х + •••
откуда
.,(10) ,т = 2
2".101
tdO)(0) = f-JlL = 23 04U.
] (1+*¦)(! + *•) д (1+^)(1+*к) ^ (1 +**)(!+**)
