Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
С1
469. (1 секня», 1 курс)". Доказать, что для нсех х е (U, л/2] имеет моею неравенство
(Sin *)-*'< 1 -4"-
470. (I секция, I курс). Доказать, что уравнение хь + ах* -f- Ьх3 + с = 0, где а, Ь, с — действительные числа и с Ф 0, имеет но крайней мере два комплексных, не действительных Корин.
471. (1 и 2 секции, 2—6 курсы). Пусть непрерывно дифференцируемая на полуоси х ^ 0 функция '/(я) удовлетворяет условиям:
а) |-^-|<7 Аля неел О 0 (с>0);
б) г|/(г)|ях->0 при /t->oo. о
Доказать, что /(.г)->0 при .г-->- + оо.
472. (1 секция, 2—6 курсы). Пусть А а В — матрицы размера пХп и матрица С ~ ЛВ—ВЛ перестановочна с матрицами А и В. Тогда некоторая степень матрицы С равна нулю.
473. (1 секция, 2—6 курсы). Пусть p(z) и q{z) — многочлены ненулевой степени с комплексными коэффициентами. Доказать, что если для любого комплексного ю многочлен />('*') = 0 тогда и только тогда, когда g(w) = О, и p(w) = 1 тогда и только тогда, когда q(w) — «= J. то многочлены p[z) и 7(2) равны.
474. (1 секция, 2—6 курсы). Найти предел
lim--.
475. (1 секция. 2—6 курсы). Найти паибольтее возможное число иериоднческих решений, отличных от констант, с попарно несоизмеримыми периодами, которые может иметь уравнение вида у'(t) -f- а (t)y(t) — b(l), где функции a(t) и b(t) непрерывны.
476. (2 секция, 1 курс). Найти все дифференцируемые функции f(x), определенные на ( —00, -f-oo), обладающие свойством: дли любых х и у (хф у)
~~- - г » + и
прп пекоторых фиксированных а ^ 0, Р ^ 0 таких, что
« + ? = 1.
477. (2 секция, 1 курс и 3 секция, 2—6 курсы). Пусть Л — квадратная матрица размера и X п. Е — единичная матрица размера «X» и (Е-\-А)'" = 0. Доказать, что тогда Л — невырожденная матрица.
478. (2 секшш, 1 курс). При каких натуральных п можно построить на интервале (0, 1) непрерывную функцию, принимающую каждое свое значение ровно п раз? Построить примеры таких функций ддя тех ?г, для которых .это возможно.
47!). (2 и 3 секции, 1 курс). Функция j(x) определена па [0, 1] и монотонно не возрастает (т. е. f(x)^)(y) при у 5= х). Доказать, что для любого а е (0,1)
п 1
f / (.г) dx < а \ / (г) сЫ. 'о о
480. (2 секция, 2—6 курсы). Для каких действитель-
ос
пых х сходится ряд 2. sin (ил)?
11=11
481. (2 секция, 2—6 курсы). Найти все определенные на действительной осп дважды дифференцируемые функции /(.г) такие, что !'(x)f'(x) =0 для каждого х.
482. (2 секция, 2—6 курсы). Пусть А — матрица размера н X п. Доказать, что существует такая матрица В размера п X н, что ABA = А.
483. (2 секция, 2—6 курсы). Пусть .V есть тело, ограниченное плоскостью Оху и графиком непрерывно дифференцируемой функции 1{х,у), f(x,y)^0, обращающейся в нуль в точках, лежащих вне круга х2 + у2 ^ 1, и только в них. Показать, что существует пара параллельных плоскостей, перпендикулярных плоскости Оху. которые делят на три равные по объему части тело М и высекают равные но площади фигуры.
484. (3 секция, 1 курс). Сколько существует многочленов вида х3 + ах2 -f- bx + с таких, что множество их корней есть {я, Ь, с}?
48о. (3 секция, 1 курс п 2—6 курсы). Пусть S — окружность. Для любых двух точек x,y^S обозначим л (.г, у) длину кратчайшей из двух дуг окружности S с концами в точках х и у. Существует ли отображение <р окружности 5 в трехмерное пространство такое, что для любых точек х, у <=. S выполняется равенство ).(х, (/) ¦=
63
= р(ср(ж), ф(1/))? Здесь р(Л, Б) — расстояние между точками А п В трехмерного пространства.
486. (3 секция, 1 курс). Окружность единичного радиуса катится по верхней стороне положительной ветви гиперболы у = 1/.с Будет ли линия, которую описывает центр окружности, ветвью какой-либо гиперболы?
487. (3 секция, 2—6 курсы). Для каких действнтель-
ных х сходится ряд i cos (их)?
(1- i
488. (3 секция, 2—6 курсы). Функция j(x) по убывает па [0, +°о) н для любого Г > 0 интегрируема
л-
на [О, Т], причем lim — \f(t)dt = c. Доказать, что lim j (х) = с.
ОЛИМПИАДА 1077 ГОДА
48!). (1 и 2 секции, I курс). Доказать, что если при любом к f(x)?=f(x + h) не более чем в миллионе точек х, то j(x) =. const, за исключением не более чем 500 (ЮО точек х.
400. (1 секция, 1 курс). Пусть 0 < а < 1 и монотонно
возрастающая последовательность птожительных чисел
{Рк} удовлетворяет условию рк!р„ + \-+а^ а при к-+оо.
Доказать, что последовательность {qk}: q\ = 0, qh =
«P»-i . ---;--г- при к > 1 имеет предел, и найти
*V-1 1 \а 4h — l)Ph
этот предел.
491. (1 секция, I курс и 2 секция, 2—6 курсы). Пусть р(х) = хп + д„_ |.т"-1 + ... + во — м пйгочлеп с дейс гви-тельиыми коэффициентами. Доказать, что среди любых различных целых чисел Ь\, ..., b,„ Ьп+\ найдется такое 6,, что \р(1>,) | 2г и!/2".
492. (1 секция, 1 курс). Пусть f(x, у) — билинейная функция такая, что из /(я, Ь) == 0 следует f(b, а) = 0. Доказать, что либо для любых «, b /(о, b) = j(b, а), либо для любого а /(я, я) = 0.
493. (1 секция, 1 курс). Члены числовой последовательности {а,,} определены соотношениями: я| — 1,
1 п, а, . "и—1 .
Доказать, что
