Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
р„-> А < + оо имеем-2-!-< с (/>п — р -у) для подходящей
ггттстапты с, и рассматриваемый ряд мажорируется сходящимся
ОС
рядом . ^ е(рп — рп_1) = е(Л — р0).
71=1
3
235. Индукцией по л легко доказывается, что ~ап—і^пп ^
/ з \п-1 / 3 , / 9 \п-1
<2«„_ь откуда ип j и^[~) • < <\т) >а
ряд "V и-1 сходптся, так как мажорируется сходящимся рядом
71=1
Г ( 2 Г
103
237. Рассмотрим !{х) 1п23 = 2 3_"Х = 77=17 пря х > °' Нс"
п=1 3 *
трудно проверить, что данный ряд можно дважды почлепно продифференцировать па (0, + со), так что
оо 00
8
239. Ответ. In 241. Имеем
(п+ 1)Г"
р-1
D-1
I п + 1
р-1
1 1
v " 1 п + 1
^(Здесь 0 < 0 < 1.) Остается учесть, что ^ ( — — гт^= ]
),= 1 \ у п | и + 1 /
243. Имеем
, (г In г)2 (—rlna-)* х-х = e-xln* = 1 _ я: In а; + 2[ + ...+--ГТ"^ + ¦
причем ряд равномерно сходится на [0, 1]. Поэтому
= 1.
ft=Oo
1
Обозначим /й „, = | х'' l"m х dz, где А 5г 0, m 2э 0 — целые. Инте-
грпруя по частям, .находим = _ ^j-q 7ftim_j
1
при m ^ 1,
(fc+l)""1"1
?l=l
¦ я с' +е-'
2'i5. Ряд Фурье для /(с) = -у л_ -л да [— л' я1 1ШССТ
впд
- cosnt _|_ 1_. прп ( = 1 _ я находим cos n< =j
.м 1 + л- 2
п=1
У(-1>"
104
I ил \ ^ cosn , 1
: (—1)п cos п, откуда /(1 — я) = ^ t i д+ —i п искомая сумма
"^1ти2 2 п=1
л e1-11-)-«11—1 1 л ch (л — 1) 1
РаЫ1а 1 ел_е-л -Т"="2--ьТГл-""Г-
/ (г) 1
247. Обозначим данное выражепне f(x); тогда |_j ~ 1_aJ0
1-х °°
11 f(^) = l_ Li> откуда /(х) = (!-*) ^ *1В* = 1-* +
249. Ответ, l/e < z г? е.
251. Так как для достаточпо больших z ряд "о+~+"1Т+ ••¦
й
сходится, то при некотором z0 -*¦ и, так что существует с
хи
такое, что о„ ^ с™. Тогда при а: > 2с
,2
га + хз "Т" — ~Ь „+ ¦ •
е!7 _L 1 ^
1
т. е. ф(") =«о ~Ь ~ + 8 (я), где для достаточпо больших а К
I е (п) | <~^Г- Теперь вицпо, что при й0= 01== 0 ряд ф(1)+ф(2) + ... ... + ф(я) ... сходится, ибо манторнруется сходящимся ря-
оо
К
дом. / —-.Если ряд ф(1)+<р(2)+ ... сходится, то ф(я)—у О, я2
п=1
откуда оо = 0. Если при этом ах Ф 0, то ф (я) = — + е (я) =
¦= + 0 ("я"]]' " 1,3 сРа11Яснпя с гармоническим рядом вид-
но, что ряд д>(1) + ц (2) + ... расходится — противоречие.
253. Аналогично тому, как это делается дчя обычных рядов, устанавливается возможность почленного дифференцирования данного ряда, после чего для g(x) получается соотношение g'{x) =¦ = g(x), откуда #(х) = ее* и, так как #(0) = 2, g(x) = 2е*.
255 . Пусть 01= о,+г при г ^ я; обозначим р(х) == о0 + а^-{-.., ... + щ-хх*-1, д(х) = а, + а.+& + ... + о.+г-^'-1, тогда
ОО ОО | ОО Я / I
2«,*' - р (х) + 2 ? (*>= /;м + в м 2 = +
1=0 1=1 1=1 1— ж
оо
прп \х\ < 1. При я(х)Ф 0 п |х|> 1 ряд 2 а?х'. очевидно, расхо-
1=0
дптся. Поэтому, если 2 "Iх1 совпадает с рацпопальной функцией
105
па (а, Р), то либо эта функция есть многочлен, либо (а, $)е:(—1. 1), н функция имеет вид--^ ,где г(л?) — многочлен. Очевидно, чго
1 — X
рацпопальпая функция у — 1/х не может быть представлена в таком виде, так что в обратную сторону утверждение неверно.
257. Ответ. у= У — (— l)n+1 sin га. 259. Имеем
о /со \
У J^?? = lm У f!!l J = Im = Im + = -« ftl \ л! /
rt-l \n=U /
= e™8* Im (eislnx) = e005* sin (sin x). 2C1. Имеем «г [-у) = У ~ T" = - lil^i = ~ (lT )2 • T- °'
1
V(B) = _-jj5-.
263. Обозпачпм sin2 x = i/, тогда /' (j,) = 1-2«/+ 7^ = -2j, +
'(») = j(-2г/ + Г=^)^ = -!/г~1п +
/(*) = - (*2+ln(l-*)) +c при 0 < x < 1.
265. Уравнение кривой второго порядка, разрешенное отиоси-
с
тельно у, имеет один из видов: у—ах + Ъ + х + # сфй; у — ах +
+ Ъ + лУсж2 + da; + е, К Ф 0, 4ес — d2 ^ 0. Первое пз них эквива-
2с 4ес — d2
лептно условию у" = (TqTrfjS: второе дает у" = Л 4 (м> + ^ + е)3/2 -
Объединяя эти условия, получаем, что кривые второго порядка
описываются уравнепппмп вида у" = -тггг- пли
(/'ж2 -f- itx + г)л/г
(у")~2/3 = рх2 + + г, что эквивалентно описанию их уравнеыпем
ЦЛ-2/3Г = 0.
267. Общее решение данного уравнения имеет вид у = — — е*^ je—(,+(t)d< -f cj, откуда видно, что решение, стремящееся к 0 при х—у + со п при х—у — со, может быть л:нпь од-
оо
но. Чтобы получить его, возьмем С = — j е~~di; тогда ^(ж) =¦
и
-)-оо -f-oo
=е* j" е -(i+l\t. При а; > 0 имеем у (а-)< Л"^2 j e-fdt =
X X
=е—*2, так что !/(ж) —>- 0 при а:—¦*¦ + оо. Стремление у{х) к 0 при х—*¦ — оо вытекает из сходимости интеграла j е-^x+x"^dx^
.—оо
269. Подставив у — х2 sin х в уравпение, получим 2 sin i + 4а: cos х + х2 sin а: («(х) — 1) +
+ 2а-р (х) sin х + ar2p (х) cos а: = 0
— тождественпо па (— а, а). Разделим обе части па х; тогда при х ф 0, х е (— а, а):
sin .г
2 —— + 4 cos a: -f х sin а: (о (ж) — 1) -j- 2p(ar)siu a: + а:р (a:)cOS i = 0.
Но при пепрерывных р(л?) и д(х) левая часть стремится к 6 прп х —у 0, и в некоторой окрестпостп нуля равенство нарушается. Поэтому у — х2 sin х не может быть решением данного уравпенпя при непрерывных р(х) п q{x) на интервале (—а, а).
