Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 27

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 65 >> Следующая

Пусть наибольшее пз расстояний от Р до других точек S равно d; тогда Тг содержится в шаре радиуса г 4 d с центром в Р, так 4л 4 ^ F(r) ^ 4- / d\3
VirX-Yir + d)* и _ <тn\l + jj , откуда
что
,. V (г) 4 I'm —3-= g-л.
93
1
Ho lnr = ln(l— (1 — 0) = — (1 — 0 +o(l —0 при <-*l—, так
— In t . ,
что--И прп t -* 1 — и
1 —*
Такпм образом, искомый предел равен In 2.
181. Сделаем замену переменной х2 = у; тогда
Угл 2л I эх 2я »
Г . . 1' Г sin у 1 / Г sin г/ Г sin ?; \
Сделав во втором интеграле замену г + я = г/, преобразуем полученное выражение к виду
1 f/sin.y sin у \ 1р. /1 1 \ ,
и о
что положительно, так как подынтегральная функция положительна на (0, я).
183. Из непрерывности и выпуклости f(x) следует, что Г(х)^ l(a)(b-x) + f(b)(x-a) <-тг_Bj- при х е [а, о]. Отсюда получается
правое неравенство. Для доказательства левого неравенства делаем замену переменном х — (а + Ь)/2 + t. loi да
ft—"
|/(*)to = j +
ft—(г
fi—n
2 Ь—n
.Jl,^ + <) + ,(4i-,)]->
0 =П(Ь_й)/((й-1-6)/2).
185. Функция F (I) = j е-1 *~Х 1 /(*) & непрерывна, так что су-
ществует ь ь ь
] F (О й - J / (*) dx ]«- 1 ''-х' dl = j / (ж) (2 - _ ех~ь) dx.
а а а с
Так как F(t) ^ 1, имеем
2 J 7 (ж) fc - j" еа-х/ (ж) dar -1 ex~bf (х) dx^b-a, а а а
откуда
ь ь
а а
Ь
+ ^|в-|Ь-«|/(ж)&<^1+4< о
187. Пусть х е= (я, Ь). Тогда /(ar) = /'(G,) (аг - а) = /'(е2) (ж - Ь), где е,е(а, х), 62е(л:, ft), так что \f(x)\^M{x—a), |/(л;)|< М(Ь — х), где Л/ = max \f'(x) |. Имеем далее -
Ь
(fi - аУ J
/<а+М/2 ,?
4 / р 1
V а (а+Ь)/2 '
- (Ь - аЙ 8 + 8 j
95
С Tb — f"
177. Обозначим \ —-— rfar = Ф (b). Тогда имеем Ф'(Ь) =J
J Iii х
о • .
1 ь
-J^^tTt- т.,Ф=|-^т-гС=1п(И-1) + С. О о
Но Ф(6) при 6 = о обращается в нуль, откуда С = — 1п(а + 1) 6+1
00
1 С dx
179. Функция/ (х) = —;—г-монотонна; I——-—— < со. так что 1 + ех J 1 + ех
О
00 со
<* dx *
\ -Г = 1п 2 = lim h >---г- =
J l+e* Ь-+0 1+«™*
°° 1 °° tn
= lim (— In t) у -— ,,.. = lim (— In t) 7, —-——.
84
1ЕЭ Обозначим А = max |/(х)|, А = I/(r0)]. При р > 0 имеем ( 1 \Uv (г ^1/р
Пусть е> 0; выберем б> 0 так, что при \х — хв\ < ? 1/(ус) 15= И — пусть 0sga<x0<?s?l и 0 < |ct — ?| < 6. Toi да
1ЫТ
а
при достаточно больших р. Таким образом, пскомый предел равен а.
201. Если /(х) удовлетворяет указанному условию, то для любого многочлена р(х) степени не выше N имеет место равенство ь
]р (х) / (х) (1х = 0. Пусть еь ст— все нули /(х) па [а, Ь], причем
п
т /V; о ^ С[ < с2 < ... < ст ^ Ь. Выделим из ппх те точки с,- »• • •» с1 (<1< • • • < 'г; г ^ /л), где /(х) меняет знак; тогда бел
ограничения общпостп /(х) ^0 на [о, с4]], /(х)<;0 иа [с^, с^]
г
п т. д. Пусть р(х)=ц (%,— *)'• тогда р(х){(х)^0 на [а, Ь] и я=1
р(х)/(^)>0 на каждом интервале (о, с,), (с,, с2), (ст, 6),
так что Г р х) / (ж) их > 0, хотя йс% р = г ^ /V — противоречие.
о
203. Пусть 1(х) удовлетворяет условиям. При х е= (0, 2) Их) = 1 + /'(0,)х = 1 + /'(02)(2-х), где 0,е (0, х), 02е(х, 2), откуда соответственно /(х) ^ 1 — г, /(х) ^ х — 1 и
11 2 2
Г / (х) ох > | (1 - г) их = |-, | / (х) а"х > ^ (х — 1) ах =
0 0 11
причем равспства не могут пметь места одновременно, ибо тогда /(х) = 1 —х при х е [0, 1] п /(аг^ва х—1 при те [1, 2] и нарушается условие непрерывной дщрференцяруемости /(х). Поэтому
2 1 2
Г /(х) а"*= ^ / (х) ох + ^ / (х) Ах > 1, что противоречит последнему
0 0 1
условию. Таким образом, не существует фупкцпп /(х), удовлетворяющей поставленным условиям.
205. Обозначим с = тах|/"(х)|, тогда будем пметь *е[о,1]
/ (4) - / рт-1)+/' (Нг) • 4 + /' w i.
где «е^— т. е. где |бп, л| г? с/2л. Далее, №-1)/п (А-1)/п
+ <Р*.„ (о) Л.
где | фЛп (I) | ^ при < е —-—, — , так что данный интеграл
равен, с учетом выражения для / - , ---— +
\ п 1 2д
, 3 с
+ en.ft, | еп.А I < Т Р- Таким образом,
п—\ ... / п */п ^_1 _ . _ \
/(<)~/(0) ,
2 +
207. Пусть с* е (а, Ь), efe > 0. причем е„-> 0 прп fc->oo ц
|а+еЛ
а + е„ < Ь (fc = 1, 2, ...). Тогда
^ /'-'кь+е и по тео-
I "а | "
реме о средпем ]" / (х) г/х = ел/ (ай) при а* е (а, а + еЛ), откуда а
|/(«Л) | ^ Л/е* п |/(аь)|-»-0 при к-+ао, что в силу непрерывности /(г) и ак->а дает /(сс)= 0, т. е. /(х)=0 на (а, 6). Очевидно, что тогда ](х) =0 и на [а, Ь].
209. Пусть в — натуральный параметр на кривой, г = г(х) — ее уравнение, 0(?) —угол между единичным касательным веьто-7* 99
ром t(s) = r'(s) п фиксированным направлением отсчета. С силу выпуклости кривой G(s) — монотонно возрастающая функция, так чго кривизна k(s) = Q'{s) 5г 0. Пусть г — длина кривой. Тогда
j к (s) ds = G (s) |^+' = 2л. (1)
во
1
Пусть я <-т- Рассмотрим отображение прямоугольника s0 ^
"max
^ s <: s0 + I, \t\ ^ а на область |о(х, у) | ^ а, которое задается формулой r(s, 0 = r(s) + n[s)t, где л (s) — единичный вектор внешней нормали. Докажем, что оно взаимно однозначно. Пусть r(s,, I,) = r(s2, t2), причем s, < s2, о, |/2|< е. Тогда
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed