Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= І~і> |r(niod 2л) | < 6. Искомое п такое, что n(mod 2л) є Де, по-
1 1 .
j (о 1 1 . ¦ • л
1° 0 1 .
1 [о 0 0 .
112
det (А — hE) — — А
—А 1
-А 1
331. Разложив определитель но первому столбцу, получим
о
о
о
1
—я
10-и,
1
-А 1
о
-А 1
= — А (— А)9 — ДО-10 = А10 — 10-
10
333. Любую спммеїрнческую матрицу второго порядка можно представить в виде
(cos« sin А/ — sin t cost) \
Aj 0 \ /cos t 0 A2/\sinf;
si cos
нА
откуда о12 = (А2 — Aj) cost sin t — -у (A2 — Ax) sin 2',так что
(0»)в
2
(n^)min —
335. Определитель
рапеп 25, покажем, что боль-
4 1 -1 1 1 1 1 —1 4
тпее значение невозможво. Действительно, если в матрице элементы, равные 4, находятся в одной строке (столбце), то, разлагая его по этой строке (столбцу), найдем, что значение определителя ие превосходит 4-2+4-2-)-2= 18. Если элементы, равпые 4, находятсн в разных строках и столбцах, то определитель равеп сумме членов, абсолштпаи величипа одного из которых равпа 16, двух — 4 и трех — 1. Если хотя бы один из членов равен (—16) ппи (—4), то величина определителя меньше чем 25, поэтому максимальный определитель перестановкой строк и столбцов приводится к виду 4 е у
а 16, где е, 6, Ц, V е {—1, +1}, а максимальное значение V -6 А
1акого определителя, очевидпо, равно 25.
п
337. /(.г) представляет собой мпогочлеи ^] г}х1, т. е. /'(0) =
1=0
= с|. Но с| есть сумма коэффициентов членов в разложении определителя, содержащих х в первой степени. Легко заметить, что эта сумма равна
6
8 В. Л Садовничий, А. С, Подколгни
i=i
ИЗ
S39. Матрица в — ата представляет собой диагональную мят* РИЦУ. У ко юрой по главной диагонали стоят квадраты длин вектор-столбцов матрицы а. Но det? = detM, a det в равен произведению ее диагональпых элементов, что и доказывает предложение. о/| п а / созф sin ф\
s* 1 Представим а в виде о I, где о =
V— Sln Ф cos ф/
= + Ф = a™sin р=р. Тогда
Ап = ап{ С°8"ф sin "ф,\ \— sin пф COS пф/'
Если п -» оо то а" -» 1 sin гаф = sin [ п aresin —;—Х ) =» = si:' (/^V^+0(^~)) = sin* + °l1>" cosВф= COS*+ 0(1), lim (,l"-?) = fC0Sr-1 E!n* \
i-»x> \ — nil) Ж COS r— 1/
1
343. Вычтем из i-й строки (г = 2, ..., п) определителя первую строку, умноженную ua сц/с„; в результате получим равпый исходному определитель вида
тан чю
отсюда находим
^ С22 С12 ¦
"In
"2п
О с,,2 - с1г
Сп,
Со,
In
In
121
2п in с
21
Спп ¦
11
Cfll
'm с
11
с22си — сігс2і ... ^„Cj, — с1псг]
Cn2Cll-C12Cnl ... СппСи-С1иСп1
откуда и вытекает треоуемое равенство.
345. ['ассмаїріїпасмьій определи іель равеп сумме членов вида
I О1"' alo(i) ... 0,375, щ197Ы,
114
1*1 1UHL
(1
\1975
где |о|—четпость подстановки о. Нетрудно заметить, что каждый такой член, кроме члена, соответствующего подстановке о* =¦, 2 ... 1975\
„ , 1, содержит 1976 в некоторой степени и,
1974 ... 1 у
следовательно, четен, а член, соответствующий а*, равен 1975 в некоторой степени и нечетен. Поэтому даппый определитель нечетен и. следовательно, не равен нулю.
347. Так как при / < і рі} = 0, то матрица llpijll треугольная и Рп = 1. Рассмотрим матрицу Ц-у^Ц размера (п — к) X — число общих делителей I + к и / + к больших, чем к. Пусть уже доказано, что Qh = det || qVp | и к < < п — 1 (прп к = 0 это верпо). Тогда, очевидно,д(,^= 1 п qff = 1, еелн і + fe делится на fe + 1 п g ^ = 0 в противном случае. Вычитая первую строку из каждой строки с номером, делящим к + 1,
X (n-fc), где j«>
получаем матрицу, имеющую вид
.о!
где Л = J
On = det І <$+I-1- Прп к = п — 1 получаем <?„ = 1.
349. II рп п = 3 любой определитель указанного вида можно, не изменяя его абсолютной величины, перестановкой строк и столбцов, а также умножением строк на —1 привести (если он Ф 0)
1 1 1
к виду 1 —1 1
1 1—1
довательно, |D|^4=(3
-1 1 1 -1 1 1 1)(3— 1)! и для п
4 лпбо'к виду
= 4.
Сле-
1
-1
: 3 утверждение
справедливо. Пусть опо доказано для всех определителей порядка л — 1 и О — определитель порядка в с элементами ± 1. Разлагая И по любой строке, получим
\D\ = |± Мп ± M a dz ... ± М,п \ <
^ ІДГіїІ +...+ <п(і»-2)(я-2)І < (в
так как п(п — 2) < (n — I)2.
351. Рассмотрим матрицу а вида
1) (« — 1)1,
W00
'1974
Индукцией по к легко показать, что Аъ = | оДО | обладает следующими свойствами: а№ = 0 прп I > /, = 1, = а<ы (/ —г)
при / > I, причем о<« («) = кав + /я< й (о,.....а^), Где ^
некоторая величина, зависящая от о, п,_,. Поэтому, разрешая уравнения ка, + 18, и (а\, 0,-1) =«+1, последовательно, для 8 = 1,..., 1975 относительно о,, получим матрицу Л, являющуюся корнем к-в степени из рассматриваемой матрицы.
8*
115
353. Для матрицы B=[|b,j|| размера яХ« ообзпачнм Тг(В1= п
= У, Ь{.. Легко проверить, что Тг(В) равен взятому со знаком i=i
минус коэффициенту при Я"-1 в мпогочлене det'B — КЕ) и что Тг(В + С) = Tr(fi) + Тг(С). Имеем, далее, det(/l YA~l - Я/3) = = del (Л (Y -IE) А-1) = det^det(F-X?')det(/1-1)= det(F-X?'). Аналогично uci(A~lYA — ~кЕ) = det(l' —А?), откуда
