Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 35

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 65 >> Следующая

¦лГ- /2л — ф\2 2л — Ф „ _г
Ъ, = В у 1 — / —2— ) ¦ с РаДпусом основания г = —— «• Оооз-
/2я — ф\2
пачпм х = \—2^—) ; тогда задача сводится к отысканию максимума выражения х}'1 — х, который постигается при х = 2/3, г. е. максимальный объем воронки имеем при ?я.~ '¦' = Т/ Пли
Ф=2я(1-]/"-§-).
397. Уравнение касательной к эллппгу в точке (е0; уп) имеет
«о , г/?/о , _
вид т^г + ~рг =1. Отсюда находим, что отрезки на осях коорди-
я2 ?,*
пат, отсекаемые касательной, равпы — я —. Тогда площадь
¦То 2/и
треугольника равна Т | — • — |. Так как — + — = 1( то I х0 II «/„ I 1 / *5 УоЛ 1
~|"77|<~2"1'^Г + "т)2"1= ~2~. причем равенство достигается прн |-^-1 = | ~ |. Следовательно, искомыми точками будут
точки (+^: ±^).
399. Уравпеппе касательной: у — 1 = 2(х— 1). 401. Ответ. Касательные пересекаются в точке (—2; 1). 403. Поместим начало координат на прямой АВ в точке, делящей расстояние АВ в отношении 2:1- Обозначив расстояние ОВ
через с, имеем для Л'обой точки Л/(г; у), принадлеясащей данному геометрическому месту точек, АМ = 2М В, или
откуда (г — 2с)2 + 1/г = 4с2 — окружность радиуса 2с с центром в точке (2с; 0).
X X
405. S двс= *2/ — j" У dx. Получаем уравнение ху — j* у dx =
0 и
1
s=—g-xy. Дифференппруя по х, получасы уравнение 2ху' = у; ре-шая его, паходпм у = су х. Второе решение: S две = f j/aV— arjr.
Огвет. у=4—, либо {/=сУ а:. 407. Уравнение касательной Jj, проведенной к параболе в точке (хе; Уо), имеет вид 4ах -j- 2(/г/0 — J/о = 0; уравнение перпендикуляра h к I], опущенного из (0; 0), имеет вид </0я— 2зц = 0. Координаты (x; jy) точки пересечения I, и f2 находятся теперь из системы
( kax 4- 2t/i/o — г/о = 0,
1 i/o* — = 0.
IIЧЦ
г/о
г/ = т
2 (»§+ *•*)'
Исключая параметр у0, получаем
ху2А- xs — ау2 = 0.
409. Расстояние от точки Р(х; х2) до точкп 0(у\ у —2)
,_ ,- бф
равно \{х — у)2 + (х2 — у 4 2)2 = 1 ф (х, у); -^= — 2(х — у) —
?(р X2 4 X
— 2 (г2 — I/ 4 2), "g— =0 при у = —2--г 1 — точка минимума
<р(х, у) при фнкенрованпом г. Подставляя такое у в виран5ение для
(х2 — х у —2— 4 11 • Так как
х2 — х ^ —1/4 п достигает этого наименьшего значения прп
/—1,4 у
= 1/2, то min Я2 (х) =2/ —2— 4 1) = 2 (7/8)2 достигается при
7
х = 1/2; прп этом искомое наименьшее расстояние В (х)= -g- 1^2.
х
122
123
411. Пусть в исходный момент цевтр катящегося круга находится в точке (Я/2; 0) п точка Л/ имеет координаты (Я; 0). После поворота на угол ф центр оьружностп окажется в точке
К ^-треоїф; sin ф|; точка М переместится в точку М'(х; у), а
точка касания О будет иметь координаты (П. cosy, Яяіпф). Так как круг катится без- скольжения, длины дуг МО и М'О равны, т. е.
—-?"*/>= Яф где ф — величина угла Z.QKM', т. е. i|> = — 2ф. Ее
лп
ввести систему коордипат х'Ку' с началом в точке К, то Z.x'KQ=<(; zLx'KM'— —Ф, так что координаты точки ЛГ в этой системе коор-
I К R ¦ \
дпнат равны I — cos ф; — -у sin q I, а в исходной (Я cos ф; 0), так
что точка Л/ движется по отрезку [—Я, Я].
413. Расположим цилиндр радиуса 1 в пространстве так, чтобы он высекал на плоскости Оху единичную окружность с центром в точке О и осью его служила бы ось Oz. Проведем через ось Ох и точку (0; 1; 1) плоскость л. Пусть Р— точка, принадлежащая перс-сечению л с цилиндром п проектирующаяся в точку Q единичной окружности. Нетрудно теперь проверить, что если Q соответствует углу х поворота радиус-вектора, то \PQ\ = sin х.
415. Точки, лежащие на плоскостях, проходящих через ребра
с | Ь а \- с
SA, SB и SC, имеют радиус-векторы вида Af —--1" ^iai ^\ ~2—
а I 6
4- А26, А, —^— 4- А2с, так что эти плоскости пересекаются по прямой к (я + Ь + с). Аналогично, плоскости, проходящие через ребра SA, ЛВ, АС п черед ребра BS, БА, ВС, пересекаются по прямым й -| р (6 \- с —'ki) н 6 у (а с—36). Точка пересечения трех найденных прямых есть точка К, ее раднус-векюр равен
-j-(« + « + »)¦
417 Рассмотрим векторы r/j = 0.1A нг=ОМ. Так как
71 И
%rk = o, то С = 2 |*--гл|»-я|г|» + С,. А=1 //=-1
419. Достаточно показан., что пек-юр я bjb^c]cxa перпендикулярен каждому их векторов 6 — я, с—а. Имеем (6 — о. а к 6 -, 6 с 4 с > а) =» (6, й. 6) г
4 (6, 6, с) + (6, с, а) — (а. а. 6) — (я, 6, с) —(а. с, а),
где [х, у г) — (х, у x г) — смешапиое произведение. Учитывая (х, у, г) = (i/,z, х) п (х,х,у) =0, получаем, что последнее выражение равно 0. Аналогично, (с — а, а » b \ b у с + с х а) = 0. Если oxftfbxc + cxo - о, то (см. задачу 418) векторы о, 6, с компланарны.
421. Умпожим первое уравнение скаллрпо па а, оторое — ска-лярпо на 6 н вычтем из первою результат второй:
la с) —(6, d) = 1«, 6 у) ' ib, й, у) = 0,
Умножим первое па Ь скалярно, второе па и а сложим результаты
(6, с) + (а, я*) = (6 а х) 4 (а, 6, л-) = 0.
Итак, условия
(а. с) — (6, я") = 0, (6, с) 4 (о. я") = 0 (1)
необходимы для совместности системы. Докажем пх достаточность н найдем решения. Умпожим первое уравпепие слева векторно на я, а второе слева векторно па 6 и сложим результаты, полупім — х (я2 4 б2) 4 я (е. х) 4 6 (6, х) 4 6 (о, »/) — я (6, ту) =
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed