Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
J^+ Jг
Сделаем в первом интеграле замену х — 1/у; тогда
ОО
4«
Jl + Ji
г'~1 (1+^ а+'»-•)'
1 4 ¦ 1
Л"
1-Г-*'
что не зависит от а. 191.
- по + 0С О
—» о —«
В каждом пз интегралов делаем замену переменной х——— I. Име-
ем х г+1^* + 4 ,чш х > 0] х = I-Л_Р±± ирц х < ^ ь ь
Интеграл ^ /(0 -¦ ^ ^ <Я сходится, если сходится ^ / (*) Л (по
— •ТО — °°
признаку Лбелл). 01 сюда получаем, что /1 и /2 сходятся и
+ ^ /(*)<**•
ИМ. В качестве такой функшш можно взять, наиример. функцию е~х + Л(.г), где к(х) — функция, равная нулю вне отрезков
^— ^1, Ь+-р-|(^ = 2, 3, ...), равная единице при х = 2, 3, ... и отрезках |^' —"ту - ^ " ^> * ~г ат]'
линейная на 96
195. а) Положим | + х4 . соза ? = 1 тшда ирп лп < х ^
1 1
< л (и + 1) имеем , , . . , | ,4 „ ,— < / И ^ -т-т—п-г
1 + л (а* 4- I)4 «А2 ? 1 -(- (лп)1 сое2.
тогда
П(П+1)
дх
л(п-И)
л(п-)-П
1 + Л4 (и -+- I)4 СО;;2 л
ПО л
г7г
(И + I)4 Си&2 ?
I/(х)<^ I г;
НП")4 а»2 2;
= С__ ,
3 'й + (л + 1)« ~Г
+1
^2 x ± 1 + л1 (л +- I)4 Т/1 + л4 (л + I)4
Суммируя по л, находим
Л ^1 ,--- < \ / (х) Аг < л >
и
откуда видно, что ипте! рнл сходится.
с
Г 1 ^ г
] I + х2соз2.* I
I + х
, т. е. ни геграл расходится.
197. Сходимость интеграла эквивалентна сходимости ряда л<п+1)
у Г -?_^ г_
Члены а„ этого ряда оцениваются
Л л
+ (Лл + i)
1 + (пп)а8т2« '
по
л л/2 ос
] 1 -г ь* ии\21 " ] \ + ь1 бш2 г ]
1 + (ь* +1) г/2
У 6г + 1
(г/ = о
Отсюда ч„ ~ гп~"-п, т е. тпеграл сходится при а>2 и расходится ирп а ^ 2.
I В. Л. Садоииичий. Л. С. Подколпщ
121. Имеем при х > 0:
4- in (l+x)
_ет(х-^- + -т-+0(д">)=; е»--г + -т+-(«*) = «... 2 3 -'(1-2+Т + 'М+т(т) )=
= в ^1 - -|- + ^ + о (*2)) - . - "У" * + й ™* + 0 (**).
<¦ 11
откуда /1 = — ~2 • Я = ~24" *«
123. Дифференцируя почленно равенство /(— х) — —/(х), получаем /'(—*)=/*(*)• В обратную сторону утверждение неверно, В чем легко убедиться, ваяв, например, 1(х) = ж + 1.
125. Имеем /(-*) = /(*), -/'(-*) = /*(*). откуда /'(0)=0.
Далее, по формуле Тейлора / (х)— /(0)-|-—^—хг -\- о (х2), откуда
видно, что при /"(0) > 0 точка х = 0 есть точка локального минимума а при /"(0) < 0 — точка локального максимума.
127. Пусть /'(0)> 0 (случай /'(0)"< 0 сводится к этому случаю ваменой /(х) на —/(я). Тогда /'(1) < 0. Так как /(х) непрерывна на [0, 1], то существует точка хи е [0, 1], где /(л) достигает максимального значения; покажем, что х0 е (0, 1). Так как /(х) = = /(") + /'(0)х + о(х), где /'(0)>0, то /(х)>/(0) для достаточно малых положительных х и хо Ф 0. Аналогично, х0Ф 1, т. е. х0е е= (0. 1) к /'(*„)= 0.
129. Рассмотрим функцию ф(х) = /(х) —е~х. Имеем ф(0) = 0; при х ^= 0 ч (х) ^ 0 и ф(х) -*¦ 0 при х-> + оо. Поэтому существует точка хо, в которой ф(х) достигает наименьшего значения; в точке хо<р'(х) равна нулю, т. е. /'(х(|)-|- е—*»=0 ц /'(х0) = — е—
131. Для доказательства достаточно применить теорему Кош и
о среднем для функции и (х) = -—— п V (х) — —— на сегменте [XI, х2].
133. Доказательство проведем но пндукцнп. Пусть уже доказано, что существует ф("'(х), нрпчем тождественно
Ф(«)(х) -р(|*(я>(*)), ф(»), ф<"-4"(*)),
где р — многочлен (для п = 1 это верно). Так как в правой части равенства находится многочлен от дифференцируемых функций (функция бесконечно дифференцируема; <р<>>(х) при 0^1'^ ^ к—1 дифференцируемы в силу существования ф<">(х)), то ее можно продифференцировать; при этом получаем снова выражение вида
Я(Р(9(*)).....^"'(ФМ), Ф(г), ф(п>(*)),
где д — многочлен, равный ф<п+|>(х), который, таким образом, существует.
135. Пусть уравнение асимптоты у = ах + Ь; рассмотрим функцию g(x) =/(х) — ах — Ь. Очевидно, g(x) ->0 при х-»-оо и
g"{x) =/"(х)>0. Предположим, что в некоторой точке Хо g'{x„)~c>0. Тогда при х > хп g'(x)>c, откуда g[x) > >?(•?())+с(х — х0) (х > х0) и нарушается условие g(x)-»-0 при х-»оо. Поэтому всюду g'(x) <0 в #(х) монотонно не возрастает. ЕСЛИ ДЛЯ HeKOI'OpOl'0 x| g{X\) = К < 0, ТО при x > х|
g(x) Я, что невозможно из-за g(x) ->-0. Поэтому g(x)^0. При i'(xi) = 0 имеем g(x) — 0 при х > хь что противоречит условию g"(x) > 0. Таким образом, для любого х g(x) > 0, что и требовалось. ¦
137. Индукцией по к легко проверить, что дли п = 2й утверждение а) справедливо. Пусть п — любое;« < 2ftl н л ¦+ A g= i,fc,< Тогда »
4 «т~ь /
-'Я + *
oj + ... + on
положим an+l = • • • = a„+ft----. Tor^a
1
«t+--+»n+T(g'+-"-T-gn)
I
^i(/(fll)+...+/K) + A-/(
пли
/ ,,+ ...+«„\>l[f Ы +..; + / (»„)) +
к + .'. + gnV
+7r+*;l—я r
Утверждение б) легко получить теперь, используя непрерывность функции /(х).
139. Предположим противное. Тогда существуют точки а, Ре е (а. Ъ) такие, что прямая, проходящая через точки (а; /(а)) и (Р; /©)), пересечет график функция /(х) на (а, 6) в точке (¦,} /(у)), отличной от (u; 1(a)) а (р; /(Р)). Пусть, для определенности, а < < 7 < р. Применяя к отрезкам [ос, 7] u [f, fi] теорему Лангранжа,
получаем противоречие.
141. Докажем, что для любого целого к > 0 существует сходящаяся к 0 последовательность точек, в которых /''''(х) равна 0. При к = 0 это верно; пусть это верно при к = л для последовательности xh х2, хз, ... Тогда между каждыми двумя точками х4 и xi+i в силу дифференцируемое™ /'*>(х) найдется точка у,- такая, что /(*+') (yi) = 0, и последовательность у,, ;/2, ... удовлетворяет поставленному условию. Теперь, в силу непрерывности /(к>(х),
