Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
75
ннмума. у"(х) = x*(ilx + (In х + І)2) > 0 при х > 0 — функция строго вогнутая. График ее jказан па рис. 6.
Рис. 6. Vlic 7
ІЗ. В полярной системе координат уравнение имеет вид
3_ _ __silI-(r 3sin2<p
2 sin3 ф -(- cos* ф
| 2 (2 — si и 2ф) cos
Так как г ^ 0, то для ^ имеем три возможных промежутка: 0 ^
, __л_ _3я л л
^ <т ^= 2 ' 4 < ^ я. — — < ф < — —. Таг; как при замене
я,
Ф ни —— ф выражение для г не изменяется, кривая симметрична
я я
относительно оси ф = —. Піні и ^ гг г^-?- возрастает от 0 до
3_ Т 2
л л
при - -5- < ф < — - j
г вон
растает от 0^ф = — -^-j (^-^.Приф-.-^- ,= -
до
е.
кривая — — -
имеет
1
I
2со(^ф — -^j
) ісоє^ф — -
асимптоту. определяемую уравнением или у = — Кривая изображена
на рц|. 7.
13 Гак как = р'(3) =0, то р'(.г) - многоччен степени
'/", 11 'л' ~ многочлен степени не меньшей, чем 3. Положив
Р<и Г «-V 711}(1Гп3) = л(*2-4* +3)• 113 >'словий р"(*)I-1 <
^и и (/) (^)|.1_з>о получим Л>0. Далее получим р.(х) = = Л(.?_ — 2л:2 + Ъх) + В, откуда р(1) -=1 Л = 6 и р(3) =
= В = 2. Следовательно, В = 2 и А = 3. Окончательно, р(х) = = х3-6*2.+ 9* + 2. '
17. Йусть р(лг) = а„х" + ... + по, о,- > 0, и р (х) = р (—я).
SM"«
Тогда V И = — р(— х) = 2n2j«|- ^ " + ...+-o1» = 0,
т. с. (72i + i = 0 и р(.г) содержит лишь четные степени т; и = 2т. Тогда р(х) — 2maimxim-{... + 2а2х = 0 при х = 0; р"(х) = = 2т(2т — 1)аг,„л:2",_а + ... + 2"2 > 0, откуда и вытекает вогнутость графика р{т); единственна!! точка экстремума х = 0.
19. Пусть такой многочлен существует, тогда р(7) пр7" + + а,7п—1 + ... + а„ = 5, p(lo) = а015" + ... + а„ = 9; вычптая одно равенство из другого, полупим число «о(15"—7")+... ... + c„_i(15—7) = 4, где левая часть делится на 15—7 = 8, а правая не делится на 8 — противоречие.
21. Имеем р(х) = 5 + (.г — г,) ... (т — i5)</(г), где .г,, ... ..., xg~ целые точки, в которых значение многочлена р(х) равно 5. Предположим, что для целою числа , 0 1>(хц) = 0; тогда (х0 — xi) .. .(х0 —xs)q{x0) =—5, причем xt — i„ ..., vo — xs — различные целые числа, делящие (—5). С другой стороны, —5 имеет всего 4 различных целых делителя: 1, —1, 5 и —о— противоречие.
23. Число многочленов p(z) = г" + a,zn~l + ... + иад Zs равно числу наборов 113 Oui длины п, т. е. 2". При а„ = n p(z) = = z(zn~' + aizn_2 + ... + a„_i), т. е. линейно приводим, и число таких р(г) равно 2"_|. При а„ — 1 р(г) линейно приводим тогда и только тогда, когда он делится на z + 1, т. е. когда р( —1)=0 п число единиц в наборе «,, о2.....«n-i четно. Очевидно, число четных наборов длины п — 1 равно числу нечетных и равно 2"~2, так
2"—2_i_2"— 1 3 что дп - = Т (я > !)¦
25. Пользуясь формулой Тейлора при х = а, перепишем многочлен р(х) в виде
Р M = /;(«) +
+/> («) (ж — а)+ ... +-7j- -г ... т-^1-•
(Остаточный член равен пулю, так как всюду р'"+|)(л) = 0.) При х > а в силу условий па />(''(а) написанное равенство дает р(х)> > 0, что п означает отсутствие корней, превосходящих «-
27. Достаточно доказать, что все корни р'(') действительны. Пусть а, <....< а, — корни р(х) и ft,,..., к, — н* кратности;
+ ... + ^ я. Если A-j > 1, то я,- — корень //(->') кратности А-,- — 1, так что сумма кратностен корней р'{-г), содержащихся среди чисел о,, ..., а„ равна (к, — 1) + ... + С'» — 1) = « — ». Многочлен р'(х) пмеет, кроме того, депствнтстьиые ьпрнн bj, где п, ' < 6[ < Я(+1 (i = 1, ..., «— 1)—не менее s — 1 корни, а так как (я —«)-(-(«— 1)= п— 1, то других корней у р'(-г) нет, п все корни р'(х) действительны.
29. Рассмотрим р (х) = с&с +—— + ... + ¦. ^ * По условию,
р(1) = 0; кроме того, р(0)— 0. Поэтому существует д0е (0, 1) такое, что р'(х0) = 0, но р (х) совпадает с многочленом с0 + с,х + ...
... + СпХ",
77
70
31. Если хотя бы один из р, (х) — нулевой мноючлоп, то утверждение верно. Предположим, что все р((з-) ненулевые/ Если все и, различны, то пусть без ограничения общности н/<н2<...
... < пг; тогда п. > I — 1 н л, + .. .+пг^^—^~- Поэтому существуют I' И /: = Щ = И При ! # (, Т. е. р,(.г) = яг" Д- . . ., р,(т) =
= 6*" + ..., где я Ф О, Ь Ф 0 Пусть ? (т) = р. (х) / -^-р7 (ж). Система р,(л:), р,_,(.т), д[х), р1 + ,(з-), р>(.т), ..., рг(г) лпнеПНо зависима топа н только тогда, когда линейно зависима исходная система, причем сумма стспепрй входящих в нее многочленов меньше, чем П] + ... + пг. Продолжая описанный процесс до получения нулевого многочлена, убеждаемся в линейной зависимости" исходной системы.
п
33. Пусть р ^) = о0 д (; — ьи), где 1т Ъя > 0. Тогда р ^) =
Если 1т 2* < 0, ю г* Ь„ п р(г*) ^= 0. Кроме того, 1ш (г* — Ьл) < и, 1ш .„ _ ^ > 0, так что 1ш I V .« _ ь > 0 и
V 1
^ ,* _ ь ФО, откуда п получаем р'(г*)=?0. Следовательно, все л 1 ~ А
корни р'(г) лежат в верхней полуплоскости. 35. Имеем
т. е.
По
— 1н(1 — х)3 = — 1н(1— (2х — .с2))=.
Вычитая эти равенства почленно, получим, что данный мпогочлен есть о(.т"), т. о. он делится па хп+1.
37. Имеем р^-<'(х) =оо + я2г2 + ... + оп_р+1г"-р+1, где
„ / 1X1 (р-Н)!
