Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 28

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 65 >> Следующая

r(s2) — '¦(s,) = n(si)«i — n(s2)/2- (2)
В сплу равенства (1) приращение 0(х) на одном из отрезков [st, s2] нлп [s2, si+ J] ле превосходит п. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что 0(s2)—0(si)= 2G„^n. Выберем направление отсчета так, чтобы 0(s-2) = —0(.?i)=00, и спроектируем (2) на ото направление. Проекция правой част равна —sin 00(<i + (2).
Левую часть запишем в виде J г' (s) ds н для ее проекции получим выражение J cos 0 (s) ds. Таким образом,
J cos 8 (s) ds = — sin P„ + «2V (3)
Так как |0(s) | < л/2, то cos 0(s) ^0n
6j S; (Jo
\ cos 8 (s) ds > f cos 0 (s) -T-^~ 2s " i cos 0d0 = 2o sin 00. J J пых J
e, s, - О»
Поскольку |ti|-f-|ts| ^ 2п, то отсюда следует, что равспство (3) возможно лишь при sin 00 == 0. т. е. при Оо = 0 По в этом случае cosG(s) =- 1, и из (3) получаем, что s, = s2, а тогда из (2) = t2.
Для вычисления интеграла произведем замену переменных, соответствующую отображению r(s, /). Ясно, что р(х, у) = I. Найдем якобиан отображения Имеем
т\ (s, t) = n (*), r's {s, t) = / (s) + n' [s) = т (s) + к (s) т (я) t,
поскольку n'(s) = k(s)z(s) Таким образом, модуль якобиана равен | r't X rg' I = 1 + A (s) t > 0 при |/| < о. Слсдовагелию,
s„+l a <„-)-!
j" j" P (x. y) di dy = j" ds j* (1 + к (s) t)tdt=^as j A- (s)ds=
-- _- na3. 3
211. Легко проверить, что дгас! ф X Р"аг1 і): = гоі(ф дгасі ф) Тогда по формуле Стокса поток через верхнюю полусферу г= 1, г > 0 равен циркуляции вектора ф gr¦л(] ф по окружности х1 + уг = 1 в плоскости х, у, ориентированной согласованно с ориентацией полусферы. Поток через нижнюю полусферу г < 0 равен циркуляции вектора ф дгасі ф по той же окружности, но ориситнроваипой противоположно. Следовательно, поток через сферу равен сумме этих циркуляции, т. е. равеп 0.
213. Приведем кводратнчпую форму ортогональным преобразованием к главпым осям. В новых переменных интеграл имеет вид
V V2
i=l '
Делаем замену jA. х.= щ, получасм
4
1 п"'
V 2^.
_ "і
Теперь переходим к полярным координатам уі = Г|Совфі. уг =•= = rt sill if"!, уз = r2 cos ф2, уц = /2 sin ф2. В результате получим ІШ-теграл
2л 2л 2 2
2.2. U U
Лг f f , , , П2(Р — I)2
= —= eU]''dt,dti = —: ,
ГДе I ~ ^'^2^4-определитель матрицы Л
2Ю. Ьсли п есть квадрат целого числ^ то положим аИ = 1/п,
нпаче ап = 1/п2 Топч л -і /і/ »
•/« . югда а„ ф о(1/я), причем ряд У
_ «п сходится,
' ЛЮ°ая СГ0 «слипая сумма пе превосходит 2 У _L = с <
Oil її ___. '
ибо
?>7 Гпд ~1
j__1 1 J
^?"'rJ--~ TIT--- — 'г=-
4 Г л | я
101
100
сходится и его сумма равпа 1, в то время как ряд, составлешпііг пз кубов его членов, расходится, ибо частичная сумма вида 111 1 11
1 і—-ZZ—:Г— ~75—ГГ-т- Т — • • - — ~~5-— ... — -т-+ — ©ТОГО ря-
п
1 11 1
да равна 1у-)-...-]-—— ір- — ... — п стремшся к bo
прп п -*• со.
219. Выберем возрастающую последовательность {nh} так, чтобы выполнялось Ь„ ^А-,и положим о,, =1/Л2,ап = 0 при п Ф я*.
"ft "А
ОО ОО да
Тогда 2 ак ~ 2 < m • в 10 ,кс время ряд "r/'n расходится, ft=i ft=i 71=1
1 , 1
ибо его частичная сумма S > 1 + у + ... + ~т; что стремится
к оо при А" -»- оо.
221. Рассмотрим последовательность {л*} такую, что = А-2 (ft = 1, 2, ...), а прочие члепы образуют подпоследовательность 1,2», 23, З3, З3, З3. ...,Д3, .. ., А3, ... Тогда
h
ОО ОО ОО ОО
fc=l " ft=l ft=l ft=l
С другой стороны, подпоследовательность последовательпостп {nni}' соответствующая номерам к, не являющимся кубами целых чисел, имеет вид I2, 22, 22,..., к",..., к2, ..., так что
Ї
00 1 °° к °° 1
со
223. Ряд сходптся, еслн сходится ряд ^ ^_^ . Но
п=2
^ л (л - 1) =2d \7^1 ~ 7] = *¦ п псх°Дпыи РВД сходится.
71=2 71=2
225. Очевидно, 0 «g а„ ^ 1, яп+1 = cos о„ 5з cos 1 > 0 п Qn А 0, так что ряд расходится.
/л я \
227. Очевидно, хп є= I у + я (л — 1), я- + пп) откуда хп >
л 1 1 _ „
> — + л(л—1)^л п —g-^ —2~. Поэтому рассматриваемый ряд ма-2 а? я
V 1
жорпруется сходящимся рядом ^ — н, следовательно, сходптся. 102
229. Ряд сходптся по прпзпаку Дирихле, а ряд ^ 1 ып f'^ ііао
п=1
ходится, ибо оценивается снизу рядом
ОО ОО
28іп2П_ 1 уі./ ¦ _соя2я\ — — 2* \ п п у
71=1 71=1
который расходится. Поэтому 5/^ +¦ 5^ = О (1), а $| - -* ет-Отсюда следует, что 5^ -> со. Гогда 1 + ^ =^Цг ->• 0, т. о.
—г -*¦ — 1.
231. Пусть о > 1. Тогда прп д > и > 1 можно указать такое л0,
что 1и(1/а„) > а 1п л при л > яо, т. е. а„<~: и ряд сходится,
л
оо
ибо мангорируется сходящимся рядом /_ —¦ При д < 1 выбираем
п=1 "
произвольное а {д <а < 1); тогда, начппая с некоторого л0, вы-*
1 1
полняется 1п(1/я„) < а 1п л, а„ > ~> ~ . и ряд расходится. 233. Ицрем
у Рп - Рп-і _ V ( ' _Рп-1 1 \ А РпР«-1 «=1 1^-1
Если рп-> + °°, то ряд — — — — + ~ — — — + ... знакоче-
Ро Ру Рп Р\ р* Р\ редующпнея, с монотонно убывающими и стремящимися к 0 членами, так что он сходится вместе с рассматриваемым рядом. При
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed