Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
lei jSIhSl
Верно ли это для любого бесконечного семейства {А,}?
520. На плоскости нарисовано п точек. Игра состоит в том, что двое по очереди соединяют какую-либо пару точек кривой линией, на которой ставится новая точка. При этом линии не должны пересекаться и из каждой вершины должно выходить не более трех линий. Выигрывает тот, кто проведет последнюю ЛИНИЮ.
а) Доказать, что игра кончается.
б) Найти оптимальную стратегию прп п = 2.
в) Найти оптимальную стратегию для произвольного п.
521. Пусть А\, .... Ап — подмножества множества Е. Доказать, что наибольшее возможное число различных подмножеств Е, которые можно получить, применяя
к множествам /ЬХ.Лг. А2К А3. А \'А\ операции объединении, пересечения и дополнения (до Е), равно
2К 2 > Х г > (н>2).
522. Сосчитать с ошибкой не более чем в три раза число существенно различных (с точностью до поворотов и симметрии) позиций, которые .могут возникнуть при игре в «крестики-нулики» на квадрате .3X3 (ходы делаются но очереди; игра заканчивается, если три крестика или три нулика оказались на одной вертикали, горизонтали или диагонали).
523. Существует ли такое множество А последовательностей натуральных чисел, имеющее мощность континуум, что для любых {я„}, {Ь„} е А и любого натурального с неравенство \и,п—Ь„\ < с выполнено лишь для конечного числа пар (щ «)?
524. Пусть {/?„} (и=1, 2, ...)—строго возрастающая последовательность натуральных чисел, а ц>{п) — число членов этой последовательности, не превосходящих
п. Доказать, что если ф(") ~ г~ при п-> оо) то
оо оо
525. Доказать, что для всякого отображения / множества рациональных чисел О в себя найдутся три би-екции ф|, ([2, Фз из Ц в О, удовлетворяющие равенству
/= ф! +ф2 + ГРЯ-
526. Пусть о, Ь, с, й — четверка действительных чисел. Образуем из нее новую четверку |й — я|, \с— Ь\, \д. — с|, \а — а"|. Далее будем повторять ту же процедуру. Может ли случиться так, что ни на каком шаге не получится четверка нулей?
527. Пусть 7Л = (X,, I,) и Т2 = (А72, 12) — два топологических пространства, а g — отоб])ажение А'1 в А72. Тогда g называется открытым, если из того, что ЛеЕ], следует, что g(A) ^И2, замкнутым, если из того, что Л'еЕ1, следует, что #(/4')еЕ2. Существует ли непрерывное отображение Т\ в Т2, не являющееся ни открытым, нн замкнутым?
528. На множестве Л7 натуральных чисел введем топологию, объявив открытыми множествами 0, Л' и множества, дополнения до которых конечны. Описать все
К9
68
непрерывные действительные функции на этом топологическом пространстве.
529. Какие множества на прямой могут быть непрерывными образами множества М точек плоскости, у которых по крайней мере одна пз координат рациональна?
530. Найти все непрерывные действительные функции, определенные на всей прямой, переводящие любое открытое множество в замкнутое.
531. Будем считать Землю идеально гладким шаром. Рассмотрим множество Л всех точек х на поверхности Земли, которые обладают свойством: если из х пройти К) км на север, затем 10 км на запад и. наконец, 10 км на юг, то окажешься снова в точке х. Является ли множество А замкнутым?
532. В метрическом пространстве Я = (X. р) построить открытый шар 0(х, г) = {у: р(.г. у) < г} и замкнутый шар К(х, /¦) = {у: р(.г, у) ^ г} с общим центром п равными радиусами такие, что замыкание 0(х, г) не совпадает с К(х, г).
533. Существует ли полное метрическое пространство и последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, имеющих пустое пересечение?
534. Пусть [М, р) — связное метрическое пространство. Для произвольных множеств А с М, В а М положим
р(Л, В)= ш1 р (*,{,).
а"~ I И
Доказать, что если р(Л, В) > 0 для любых двух непересекающихся замкнутых множеств .4 с .1/, 'В а М, то пространство (-?, р) компактно.
535. Пусть Ь — нормированное пространство. Может ли существовать ограниченное (т. е. целиком содержащееся в некотором шаре) замкнутое подмножество Ь, не являющееся компактным?
536. Пусть //—подпространство (т. е. замкнутее лп-пейное многообразие) линейного нормированного пространства N, не совпадающее с N. Тогда для любого заданного е > 0 найдется в Л' такой элемент у с нормой, равной единице, что 1^ — у1! > 1 — е для всех х^Ь.
537. Пусть // — комплексное гильбертово пространство, А — положительный (т. е. (Л/,/)^0 для любого /«=//) ограниченный оператор. Доказать, что А = А*, где Л* — сопряженный оператор и тем самым А симметрический (самосопряженный) оператор.
538. Если функционал р(х), заданный на линейном простраиове /, удовлетворяет свойствам
я) Р(х + У) ^ р(х) + р(у) для любых х, ;/е/., б) р(ах) = ар{х) для нобых 1е/,иа>0, то при любом действительном а р(ах) ^ ар(х). Докажите это.
539. Существует ли оператор в гильбертовом пространстве // такой, что его область значений, т. е. множество /?,= {Л/} (/<=//), но замкнута, но замыкание ЯА совпадает с //?
540. Задан линейный обратимый оператор /1. Доказать, что для любого л^Я', \\х\\ = 1, существует число г из множества {± 1, ..., ± п) такое, что ||Л'.т|| ^= \/п. Доказать, что константа \/п не улучшаема. Доказать, что если 5с {+1, — ± п)—собственное подмножество, то для любого 8 > 0 существуют Лид; такие, что ||Л'.г1| < е для вех
