Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 30

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 65 >> Следующая

271. Легко видеть, чго каждое решеппе у(х) есть непрерывная, дифференцируемая и мопотонно возрастающая функция. Имеем
я
dt_
+ OQ -f-°°
dx
\У-У«\< \ i + у2 < Ь
-f-z2
- л.
273. Подставляя в уравнение у! и 1/2= (#02 вместо получаем два соотношен11я,_связывающне р и д, откуда, исключая у\, находим о' + 2рд + 3['2 д3/2 — 0. Наоборот, если р и о связаны такое вависимостыо, то исходное у равиеиие приводится к следующему:
я
решения его суть
2).
275. Ответ, z = Ce2y+-|--f -f- + 4"«
277. Данное уравненпе равпоспльно уравпеппю (/^' — ху)'— 0, т. е. у' — ху — Си откуда
100
107
279. Предположим, что у(з!) — решеппе данного уравнения на интервале (0, 3) и у(Щ = 0. Тогда всюду на данном интервале у' > 0, так что у(х) мопотонпо возрастает и у > 0. Рассмотрим функцию г(х) = arctg у (х) l'a (0, 3) она дифференцируема и
удовлетворяет соотношению г г = tg2 г + х, причем 0 < 2 (г) <
< я/2. Имеем г'(х) = sin2 z -ff- х cos2 г ^ 1 при г ^ 1, откуда z(x) ^ х — 1, так что г (2, 9) ^ 1, 9 > л/2 — противоречие.
281. Пусть прямая у ~ рх + g пересекает данпую кривую более чем в трех точках и нигде се не касается. Выберем четыре последовательные точки пересечения P\(xt; q(x,)), ____Pt(xt, ф(х4)).
Так как прямая не касается кривой у = ф(х), то значения (f'(x.) будут поочередно больше и меньше, чем р. Рассмотрим кривую второго порядка L, определяемую уравнением Р(х, у) — pQ(x, у) = = 0. Tait как C(x, q (х)) сохраняет знак на [а, Ь], то Р(х,, ф(х*))— — pQ(xi, tp(xi)) будет поочередно больше и меньше нуля, так чго точки Pi ц лежат но разные стороны от L и между ними на прямой у = рх + g найдутся точки (i = 1. 2, 3), лежащие па L, так что L пересекается с примой более чем в двух точках, чею быть не может.
283. Обозначим /(х) =2 arctg х + aresin jqrp- Так как прп I 2х
х>1 1 + агг <*>то /(*) определена для указанных значений х, причем непосредственно проверяется, что f'(x) = 0. Так
как, с другой стороны, / (у о) = 2 arctg )- 3 + aresin -5- = 2 — j-л
+ T" = л1 то тождество доказано.
285. Если всюду /(х) ф х, то. в силу неп])ерывпости, либо ве i-Де /(х)> х, либо Дх) < х. В первом случае /(/(х)) > /(х) > х, во втором /(/(х)) </(х) <х ив обоих случаях равенство /(/(*))= Е невозможно.
287. При а ^ 0 решений нет. Прп а >• 0 перепишем уравнеппе в виде е*/х2 = а и исследуем функцию /(х) = х~2ех. Имеем / (х) = ех(х—2)х_3. так что /(х) возрастает от 0 до + оо на промежутке (— оо, 0), убывает от + оо до е2/4 на промежутке (0, 2] п возрастает от е2/4 до + оо на [2, + оо). Следовательно,при 0 < с <
< е2/4 имеется одни корень, при а = е2/4 — два корнян при а > > е2/4 — три корпя.
289. Па отрезке [0, л] j/=sinx — х/8 обращается в нуль дважды: дтя х0 = 0, а также для некоторого xt > я/2; х\ <. л (ибо у (л/2) = 1 — л/16 > 0, у (л) = — я/8 < 0). Других корней па
1
[О, я] нет, так как па этом отрезке у' = cos х—^"обращается в
нуль лишь в одной точке. На [я, 2л] корней нет, так как у < 0.

Имеем, далее, у (2л) = — л/ 4< 0 у (5л/2) = 1 — -jj > 0, у(3л) =
= — Зл/8 < 0, так что имеем еще два корня: х2 е (2я, 5;т/2) п х3 е= (5л/2, Зл). Из исследования у' на этом интервале получаем, что других корней при х е [2я, Зл] нет. Пакопец, при х > Зл у(х) < 0 В снту печегиостн функции у(х) находим окончательно, что она обращается в нуль в 7 точках.
291. Обозначим х2 = у, тогда /(х) = ф(Гу) = 2e"-v (у3 —Зг/2 + + 5j,-l)-2е-5, j,>0; ф'Ы=-2e2-»(y3-6tf*+Пу-С) = = — 2e2-i'(.v — I) (у — 2) (// — 3). Таким образом, ф'(</) > 0 при 0 < у < 1, ф' (;,) < 0 прп 1 < у < 2, ф'(^) > 0 при 2 < ;/ < 3 и ф'О/) < 0 ирн ^ > 3. Точки у = 1, у = 3 — точки максимума, ;/ = 2—точка минимума, причем q;(0) < 0. ф(1) > 0, ф(2) < 0, ф(3) < 0. Поэтому ц(у) при у !Э: 0 обращается в нуль дважды — при у е (0. 1) и при у е (1, 2), а функция /(х) соответственно имеет 4 нуля.
293. Пусть as < 0. Достаточно доказать, что функция g(x) = = /(x)/xak имеет не более двух положительных корней. Имеем
xg' (х) = ^ (а( — af)o.xai~ah, 1 i^n
и каждый члеи суммы монотонно возрастает при х > 0 (как в случае а. — а* > 0, так и в случае а, — а/, < 0). Поэтому xg'(x) монотонно возрастает, и g'(x) имеет не более одного положительного корпя. Отсюда по теореме Голля /(х) имеет не более двух положительных корней.
295. Ответ, /(х) = 8х2/7.
/ (х) + / (0)
297. Так как/(г)=<_/(х)/(1)). то /(0) (1 + /2(х)) = 0 п /(0) = /(.г + Дх)-/(г) /(Ах) 1 1 /2(х) = 0. Далее, -s --g- 1-/(х)/(Ах) • так что ПШ1
д.г_^0 /(Дх)-*0, f-^f-+f (0)=С1и /'W =С,(1 -ЬЖх)),
откуда Г-^ = (*С1Сгг |-Сг, arctg/ = С1х + Сг. /(х) = b y о
= tg (CtX+Cj). или, учитывая /(0) = 0, /(r) = tgC,x. Любая функция /(х) такого вида, очевидпо, удовлетворяет рассматриваемому функциональному ура внешне
299. Обозначим у = j—г; тогда х = jj^-j и / (у) = a/I 1+
+ я- (^zi) =«(«/(г/) + ч(у)) 4 ф(Чгт) = «2/Ы + яф(у) + I у \ йФ(г/) + ф(Чг1)
+Ф( y~ZT{ 1> откуда _-fZT^i- • ИетРУДН0 проверить,
что так определенная f(y) удовлетворяет рассматриваемому уравнению и определена при у Ф 1.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed