Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
69
88
/с*)(п) «= 0 для всех к — О, 1, 2, формуле Тейлора будем иметь
_ I (ftr)
Возьмем произвольное х; по
«1
и так как ге — произвольное, | /(х) \ 143. Имеем
0.
/(Ф (0))
'(*Чп|)-
/(0)
(«'sin 4)-
/(0)
/г2 sin v
/г sin
С ch sin-
прп й -v0, h Ф 0. Поэтому
lj/(9f*))U*=0.
145. Индукцией по / нетрудно установить, что
(х) sin — + о (г) cos
(х?= 0),
где р(х), д (х)—многочлены, причем либо р(х), либо <?(х) имеет ненулевой свободный член. Если к — 21 ^ 2 и уже установлено существование /''' (0) = 0, то
/и+о (0)
= Inn ¦
зс-U
(р (х) sin -J 4- 9 (х) cos 4j
существ; ет; при к — 21 < 2 производная /('+" (0) не существует. Непрерывность 1-й производной в нуле имеет место при к—21Х). Итак, /(х) дифференцируема в нуле [А/2] раз и [(к — 1)/21 ее производных непрерывны в нуле.
147. Пусть с —точка минимума; 0 < а < 1. Тогда /'(о) = 0, /(о) = —1 и по формуле Тейлора
/"(л + е (х —а)Г
/И^-Н - --- (*-*)* (0<ех<1)-
При х = 0, х == 1 пмеем 0 = — 1 +
/'(я+60(- «))
а8, 0=-1 +
+ {" (д + 6^(1-^-(1_в)»; обозначив /"(«+ — = с<
(«—-0, 1), найдем с0=2/я2, С] = 2/(1 — а)г, так что при о< < 1/2 со 5= 8, а при а ^ 1/2 с, ^ 8, что и требовалось.
149. Пусть — путь, пройденный за время <, где 0 ^ I ^ Т. Рассмотрим два случая: 1) Б{Т/2) > 5/2; 2) Б{Т12) < Б12. В первом случае, разлагая 5(0 по формуле Тейлора в точке < = 0, получим,
ео
гчитьгвая что 5(0) ~ 5'(0) = 0, 8{Т12) = (5"(Ю/2) (Г/2)*> |А Учившая что ^ ^ е1 ^ Во втором случае1 разлагая 5 (()
по формупгГтейлора в точке I ~ Т, получим, учитывая, что 8(Т)
= .5. 5'сЛ==0. ?(ГГ'
§,5.'(Л=0, «Jy2)-.e+ (S"(l)/2)(?/2)2<5/2, т. e.'(-S"(fe))> 4i?i2.'Hycfbeg(x)2=lim/(")(x). Почленно интегрируя, получим
J g (х) </х = lim (/(п-]) (х) - /(п"1) (0)) = ? (х) - 1,
0 П-оо
Отсюда видно, что g(&) удовлетворяет дифференциальному уравнению g'(x) = g(x) и начальному условию g(Q) — 1, т, е. #(х) = ех,
1
153. Имеем / (ж) = / (0)-J-ж J/'(ex)de, откуда
0
1
*(*)=* (1-/(0)) х-1- f/'(?x)de
п ь
1
gtt) (г) = (_ J)* 1 _ / (0)) fclar-(.fe+1) - f 6*/(А+1) (Ох) dG,
b
так что
(_ yhgW (т) = (1 _ / (0)) А|х-(А+1) + f б* (- l)''+l/(ft+1) (0х)?/е>0.
о
155. Пусть р (х) = cos ((sin —-jrj *^'°S • где и —натуральное. Индукцией по к легко проверить, что p^h\x) «= cos I
/2я* / . 2л \ \ (соз1г)я
так что /?<п>(х) в /?(х) и р1*Цх) Ф р(т) при к < п. 157. Разлагая /(х) до члена с хп+2, находим
^- ГМ-пу /<"+'> (0) , /<и+»(б^)»"-и"
«I /И (п + 1)1 (и + 2)1 \
(0 < 6' < 1).
С другой стороны, /(п)(ех) = /(п)(0) + /(п+1)(0) .0* +
+-1-^-1-' (вх)2, где 0 < в" < 1. Подставляя это в первое соотношение, после упрощения и сокращения на хп+|, получим
/<п+1)(0) /'"+2)(е'ех) 9. „ /"+»(0) ¦ /"+2>(6-х) в! 2 (и!) («+1)1 »/' + 2)1 1
91
откуда, учитывая /Г"+,'(0) ф 0, находим, что при х->-0
159. Обозначим 1'(х) + КЦх) — к(х), /'(х)е*-* — g{x). Нетрудно проверить, что к(х)еКх= (/ (х) еКх)'^(х)е~}'х^ Г'(х). Поэтому
х
? (х) = п (х) е^х — % | к (х) ег-х(1х — X/ (0)^ О
х
Нх) = В(х)е~*-Х 4-Х | в(:с)е-Ла: <?» + Х/(0). О
Предположим, что к (х) не убывает; тогда при у > х е(у) - = Ше7* - Ч*^*) -
- Я | к (I) е**Л = (к (у) е,л - к {х) е}х) - 1к (;) ^ е'-'л =
- (к (у) - к (г)) 4- (« (г) _ я (х)) Л',
где х < г < т/. так что последнее выражение неотрицательно и g(x) не убывает. Аналогично устанавливается, что Л(х) не убывает, если не убывает g (ж).
161. Обозначим N— тах | V (х)| и С = шах (.и, Л'). Пусть е>0. 11*11=1
Выоерем точки а,, ..., ат в А" так, что Ца,-Ц = 1, и для любого хе ей" такого, что ||х|| = 1, существует ас ||х — аЛ1 < е/ЗС. Пусть в > 0 таково, что выполняется | / (*«() — / (0) — У ('к/) | < при 0 < < < 6 для всех 1 — 1, т. Тогда прп ||х|| < б имеем ||111~а'-||<'^Пр,1НеКОТОрОМ''
I/ (*) - / (а, ц* |!)|< л/ < ? Ц ,|,
I /(в, I*I) - /(0) - Г (а, || х ||) |< ±М4 |Г(х)-7(а.^||)| = |7(х-а, ||г||)|=
Таким образом, | / (ж) — / (0) — Г (х) |<-1 [аг || • 3 = е ||х ||, что и тре-
о
бовалось. 92
163. По условию е 0 = / (х), или | / (<) (Й = — 1п / (х).
о
Дифференцируя, находим /'(х) = — (/(я))2, причем /(0) «= е° = 1. 1
Отсюда / (х) = ^ V \ ¦
165. Так как /(х) интегрируема на [0, 1], то при любом выборе
1 " '
точек 5ь —-— ^ 61 —I сумма — 2 / 0>|) стремится к Г / (х) с?х
при п -* оо. Если же на любом отрезке [а, 6] существует точка, в которой /(х) ^ 0, то точкп |{ можно выбирать так, что
п
/(!') ^0; при этом суммы -1-^ /(^) будут неположительны, и
" 1=1
их предел не может быть положительной величиной.
167. Задача решается переходом к полярным координатам,
Ответ, а2 (^УТ— Щ.
169. Ответ. г(ер) = се*, с > 0.
/ Л§ 2Л0 , 2 \ 171. Огеег. т = 4я1'„| —4-р-4"р- I-
173. Пусть тор получается вращением окружности у = й ± :ЬУЛ2 — х2 относительно осп Ох; тогда его объем равен
я _ я
31
2
= 4nd f У Л* — я2 rix == 4ла7?2 \ <052фйф = 2лгс№2-
—й U
2
175. Пусть P — произвольная точка многогранника S. Тогда
4
шар радиуса г с центром в Р содержится в 7Л, так что F(r)> з"яг3.
