Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
0+?-1)!
Так как между любыми двумя путями функции ее производная об-7»
п V
к
)2 = я V 2х*
к=1 к
ращается\в нуль в некоторой точке, то р'р_1'(х) имеет (» — р +1) разлпчныхч действительных корией, а р(р)(>) ~ (га — /') корней, причем мелшу каждыми двумя соседними корнями р^'>{^.) лежит корень р(,,~\(.г). Пусть Ср-1 п ср+1 одного .жана; без ограничения общности будем считать, что ср_1> 0, ср + 1>0. Тогда в некоторой окрестности Гички 1 = 0 многочлен р(^_1'(.г) убывает слева от х =0 п возрастает справа от г = 0, причем р^'(0) =0. Если р(»"(л-) не имеет других корпей, то всюду р'р-Ч(з-) > р(р~п (0) = — «о > что невозможно. Пусть х0 — корень р1г)(х), соседний с х = 0. -Тогда на отрезке между 0 п х0 р<Р-1>(х) ^ а >0. чю противоречит существованию корня р(р_,'(.г) на этом отрезке.
\ т т
39. Пусть / (х) = д (г — с .), тогда / (р (х)) = д (/> (ж) — ^); 1-1 _ г 1
пусть Я; , п. — все различные пелые п,-, тогда целые корни
суть целые корпи уравнений р(.т) р(х)
Плеть р(х) = Ъпхп + ... + Ь0\ тогда число пелых ьорней уравнения р(^) = пг не превосходит п. Если хо — любой целый корень итого уравнения п х\ — целый корень уравнения р(.«) -"^Ц Ф 1), то р(хК) — р(.г0) «=» — аг0) 9 = о,— «,-,, так что — лс делит «;—я. н число целых корней лравыенпн р(х) =«г.^.не превосходит чпела делптелей а. — а. Таким образом, число целых корней /(р(л:)) не превосходит и + с, где с —число различных целых делителей чисел -
41. Пусть 5„ < 2. Тогда 5,н.|. очевидно, то'.ке меньше 2. Так как х + 2 > х3 при 0 < х < 2. то Я,, .1 > 5„ Псптому {Л'„) ограничена сверху и монотонно возрастает. Обозначив ее предел 5, получим 5 = г5 -г- или Я2= 5 + 2. откуда либо 5 = —1, либо 5 = 2. Первый случай невозможен, так что 5 = 2.
43. Если предел Л существует, то он удовлетворяет соотноше-1
нию Л=2 + —, откуда А = 1 + 12. Ооо.'.пачнм п-й член рассматриваемой последовательности 1 + |2 + 6„. Тогда
сп(1-У^)
6„
п при |6„ | < 1 имеем
5,Н1
I6-
п+1 1 -; \ 2-1-6 1-У2
<-|6п|
< 1/2" и |б„| -*0 прп
I 2
Но е, = 1-»2. |8,|<1/2, так что |6„
п->-оо, откуда н вытекает, что предел А действительно существует и равен 1 + 1'2.
45. Индукцией по п легко проверить, что тотка Мя отстоит от
ооозпачнм
2 1 /1 \"-'\ точкп А на -д-1 1 — I —¦ ~2~ I I длины отрезка АВ
ее I). Таким образом, {Мп} стремшея к точке С отрезка АВ. отстоящей от А на "-г" I.
73
HI. 11ЧГГМ
1
1
1
n (-« - J) (,, t 2) 2n n -f- 1 + 2 (/< 2)' я 1-1 n+Y
A (A -f- ])(/;¦-: ^
¦l к к ' 2 — fc =
Л—1 /,=2 / /
n
2 M к 2 J*d k ~ n-\-l+ 2 ^~k~ 1
1 1
л=з
,_\_, 1 1 , _i_ ,_1 1
l(« + l) + 2(«-t-2) 4 <и + 1) + 2(« + 1) + 2(и+2)" при л -»- oo.
49. Предположим, что lim sin я существует. Тогда sin(n4-2) —
— sin я — 0, но sin (я + 2) — sin п = 2 sin 1 cos (и + 1), откуда cos п -г 0 при я -»- оо . Далее, sin 2я = 2 sin и cos п -»- 0. так 'что sin 2/1 -*¦ 0. Следовательно, lim sin я = 0 и lira cos п = 0, что пе-
возможно в силу sin2 Я + COS1' IJ = 1. 51. Имеем
"V 2г/" J_ V 2
i/n
л ^— 1
Прп г ^ 2
1 +
так что
-= 2е'-1"" —Г--> 9(i-l)/i__o(i-l)/n
1 + — 1+-^ 1+ —
"I 1 /а J т- „г
2i/n г е г г — 1 1 1
j- = 2"' "Р" *t е —^—, — . Искомый предел равен, 14- —т L j
1 fit
і
таким образом, 1 2xdx = _!_ J In 2
и
53. Индукцией по л легко установить, что *я« 1 + Ь +&!+... + г,""1 + ь»й =
7/п
1
Рассматриваемая последовательностьсходится к 1 ^: 1) при |Ь|>1
п любом я, а также 2) прп любом Ъ Ф 1 п а — _ ; в прочих случаях она расходится. 80
Имеем
1
1 1 1 2 1
|*«П-1 3
14-2- ' I
2 3
J_
- 4
так что {а?,)} —>¦ 1/3 п {.Tjn+i} ность имеет Яве предельные точки: 1/3 п 2/3.
' к3 — 1 = ту (к— 1) (А" + к + 1)
hp=2 h ^ 1 ь=а
2п—2 З I'
2/3, т. е. данная поеледователь-
57. Нмеем'Д 1-2-
3-4-
¦(и—1) ТТ *2 + Ali- 1 _ СИ- 1)/
А + 1)
2
А'г + А- + 1
А2— кг 1 " (" + г)/Й *~ ~ * + Г
Л
Но (А-+ I)2—(А-+ 1)-И = А-2 + А- + 1, так что, сокращая одинаковые сомножители в числителе и знаменателе, последнее ироизве-
2 «2 + н + 1 2 я2 -[- я + 1
денпе преобразуем к виду „ (,( _;_ г/г'- 2-г 1 =~3--н* I я '
что стремптся к' 2/3 прп Я->-°о.
59. Имеем "п+1 = и„ + (н„ — о)2, откуда ип + ,^ и„. Еслп предел А существует, то А = А + (А — а)2 и А — а. Поэтому как только для некоторого 1 и,> а, так все и} при / тоже больше я и предел не существует. Квадратный трехчлен 1»^,+ (1 — 2а) и„ + + а' не превосходит о прп а — 1«5и„^а, откуда а — 1^0^ ^ п. Обратно, при а — I ^ м„ ^ « получаем, что ип + \^ н« ^ ^о — 1, ип+, = и„ + (м„ —и)* ^ и„ + (о — м„) = а. Поэтому при а — 1 ^ Ь < я последовательность ограничена сверху и имеет пределом число я.
Л (,12 + Зл)
61. Если предел А существует, тоЛ=—^ _^ д—, откуда /4 ==
=) а. Пусть х\< а, и уже доказано, что з-2<С », тогда
х\ + 3«
>
¦
т. е. гп+| > хп. Имеем аг„+1 =х,^| + д = <1 (ж^), где <г(г) =
«(^* «о ,/|Ч-3^(^)*>0 про а > 2 > 0, так что г2,, 5= ф(з-2,) < Ч1 («) = я. Таким образом, при х2<а последовательность {.г,,} монотонно возрастает и сходится к }а. Аналогично устанавливается, что при э-ц > о последовательность монотонно убывает и сходится к тому же пределу. Прп х2-= а существование предела очевидно.
