Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Тг(ЛУ'Л-') = Тг(/1-'УЛ) и Ti-(AYA~l — A~lYA) = 0.
Итак, неверно, что любую матрицу X можно представнть указанным образом (ибо не всегда Ti (.Y) = 0).
355. Пусть В = llfcjjH, С = llc.jll, где при i ф f Ьц = с,-, =
о. .
~ " .-, fen = 0, en = i. Тогда элемент матрицы ВС — СВ с индексами i и / есть
2*,>w- 1с,л,= 2 b«feft—23 hkhkj + htji-tbu =
k=l U=l й=1 *=1
при i =j= / и равен 0 нрн i = /'.
357. Пространство матриц размера n X « имеет размерпость и2, так что система матриц В0, ..., Кн2 линейно зависима: ЯоВ0 + ... ... + %п1Вп2 = 0. Пусть А,- — первый, отличный от нуля коэффициент, mrwBii=y1Bi+l+...+yn._tBn,. Далее, в)+1=В.Х - ХВ.= = Yifii+2 + ... -I Y„._i«„'+p 11 в1,оСЩе B.+h = Ti«j+ft+i + ¦ • •
• • • + Y„._,«n4ft. но В„,+1 = Вп,Л' - */,¦„, = Л'2 - А-» = 0,т. е. ^п«+7= ^ ^ ~ ' ^' Поэтому из равенства fini= YiB„2+1+ ...
• ¦ • -f- y'„t-iB2n'-i находим Л' = Zin, = 0.
359. Заметим, что группа H абечева: для любых А, В ? II имеем ЛВ = С — Ст = ВТАТ = ВЛ. Пудом рассматривать соответствующие матрицам А е= И линейные самосопряженные операторы L,\, доказательство проведем индукцией по гг. При п = 1 утверждение очевидно, пусть оно верно при n ^ к — 1; рассмотрим случай п = к. Для произвольного собственного зпачеппя а оператора LA рассмотрим пространство Та = {x\LAx=ax}. Если размерности всех Та для А е; H равпы к, то каждый вектор собственный для всех La. Пусть Та таково, что dim Та < к. Тогда при любых В ^ II и ieJ,: La(Lbx) = Lb(Lax) = LD(ax) = aLB(x), так что LB(x)^Ta и Та—нодпрогтрапство, ннвариаптпое для всех LB; Вей. По нре дно ложен ню ппдукцнн, в Та найдется собственный вектор, общий для всех LB, B? II.
361. Предположим, что .4 = |п;у||к,,/<л вырождена. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация ее строк, равная 0: Aiai -f- ... +Я„а„ = 0, где а( = (ац, а,„). Пусть Я, — макси-
п
мальный по модулю козффициепт; пмеем ^ ^jajs = 0, а с другой
j=i
стороны, эта сумма равна Яай„а -f- Arar8 нрп некотором г, причем
116
аг, = 1 п я„ > 1. так что Я, = — о85Яв п |ЯГ| > |А„| — противоречие. Следовательно, А — невырожденпан матрица.
303. Пусть Т — ортогопальная матрица, приводящая матрицу А к дпагоиальпому виду: А = Т~1ЛТ, В =Т'1ВТ. Тогда Тг(АВАВ) = =• ТтіТ-^ВАВТ) = ТтрШЛД), Ті (Л:В*) = Тг (Т^А^В^Т) = = Г г(>В2).Пусть А = I а.. ||, В =|| Ъ а ||, 1 < і, , < п. Тогда
Тг(Ав7іВ)= V а..а..Ъ..},..-= У 2а. .а . .6?. + V 0?.Ь?., і, ^=l 1<К;<л 1=1
ибо В — симметрическая матрица,
і, 7—1 1<і<;ї;ті і=1
так что
тг (лив) - т, (лЩ = 2 (2о,і"77 - аі - "I) ЬЬ =
= - 2 {°ц-°„)*ъ1<о.
1<і<7<"
Равенство имеет место при соблюдешш условия ац — ац Ф 0
Ьі: = 0; в этом случае, как легко проверить, матрицы А и в, а с ними н матрицы Л и В перестановочны; очевидно, это условие является и достаточным для равенства Тг(АВЛВ) п Тг(/12В2). 365. Докажем сначала следующую лемму.
Лемм а. Пусть рі, ..., р, простые и і < р\ ... рт — натуральное. Тогда 2(^іі •¦• = ^' ГД° с^мма берется по всем различным паборам і], — і8, її < ... < г8. ї ^ 0.
Очевидно, достаточно, доказать утверждение для і — Г і, ¦ ¦ ¦
(1^0). В этом случае рассматриваемая сумма может бьпь представлена в виде V, а ,/).. ...р.,где
г-1
ап и = 2 Сг-1 (~ = (~ »)' (* - 1)Г"' = °. что и доказывает лемму.
711 '"г
Пусть теперь ш = р1' ... /V ¦ где р, — простые и і < т. Представим і в виде Ри ... Р; 0В, где О делит1 ... /)Шг—1, Я вза-ішло просто с т. В сплу толімьі имеем
, Л(-і)5 =
fis
Таким образом, если к каждой строке матрицы || (і, /) || с номером
т прибавить линейную комбинацию строк с номерами-—-
Рі, ¦¦¦
взятых с коэффициентами (—1)", то получится треугольная матрица, на главной диагонали которой расположены элемепты
2(^)<-'>'-"#-іЬ(™>
— функция Эйлера, равная числу натуральных чисел, меньших т и взаимно простых с т. Отсюда
л„=п»<»>=4-^.....(,_.±)Щ
где рі,рь — все простые числа, пе превосходящие п. 367. Определитель системы
пі
где
а11- -К а12 .. я.
< V %2 •¦ .а —1
Р(Х)
я . а -
пі п2
+ ... + ьп,
о.
где Ьі — целые. Если бы Р(1/2) равпплось 0, то
(-»>п?Г + 6, ^іт ... + ьп = о
п, умножая па 2П,
(-1)" +2Ь, + 25Ь2-|-...+ 2"Ьп = (-1)" +2Л'
что невозможно, ибо /V —целое. Поэтому О ф О, и система имеет едпнетвеппое решешіс її = ... = хп — 0.
360. Пусть Є| — базис в А; тогда при афо векторы о о Є| и е,-о а — тоже базисы в А. Если 6 =2^/ (Ясе/) 10 единственным решением первого уравнения является ж=У (З^е^. Так же решается второе уравнение.
371. Доказательство проведем индукцией по п. При га = 1 утверждение справедливо, так как найдется точка а: /,(я) ф 0. Пусть для некоторого п^к установлено существование чисел яи ...
в„ е= [о, Ь1 таких, что сеЩМаЛИ =И= О (1 I, 7 < /с) Рассмотрим определитель матрацы
/М».) -•• ММ М*)
обозначим его /^х). Разложим его по последнему столбцу; в силу Де1||/,- || ^.о-с =5^= 0 получим выражение вида Х,,/,(х)+... ... !/А+1 (х), где 0, которое ве равно тождественно нулю
на [я, Ь].
373. Так как характеристика поля отлична от 0, она равпа не-
