Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
р
которому простому числу р. Имеем {х -~ 1)р = 2 (— Ч^'в'С*»
1=0
. р\
где С'р = 1 4- ... 4 1- При 0< г < р Ср = 1 делится на
4
р, ибо (1 и (р— *)1 пе содержат сомножителя р, поэтому (х — 1)Р = >= хМ (—1)". При р >2 (—1)р=—1; при р = 2 (—1)2= 1, так что (I — 1) р = х* — 1, откуда видно, что в поле имеется единственный корень р-й степени из единицы, равный единице. Пусть ф — гомоморфизм аддитивной группы поли в мультипликативную. Тогда ф(0 4-я) =ф(0)ф(я), так что ф(0) = 1. Далее, для любого влсмсн1а а
1 = ф (о 4- ... 4 а) = Фр (а), V
Г. е. ф(я) = 1.
375 Если х1 ... х„ = 0, то для любой циклической перестановки х( ... хпх1 ... х,_т имеем (х1 ... хпх\ ... х,-_1) X X хпхх.. .х1-\) = xi... хп (х\.. .х„)х]... х1~\ = 0, так что
х\ х>.х, .. = 0. Докажем индукцией по к, что для любых элемептов Я|, я» (к ^ п I- 1) кольца /? выполнено: Х1а\х2а2 ... яах»+|1|,+2 ... х„ = 0. При к — 0 это верно; пусть это имеет место для некоторого к < л — 1. Тогда
... ХпХ\а^Х2 ... Я|,1а+1 = 0 П Х\с1{х2 ... Яа1*4 ]Яц +2 ... ХпХ1а1х2 ... Яа 4-1x1,4.^1,4.3 ... х„ —
= х,я, ... хк + 1ак + 1(хк+2 ... хпх1а1г2о2...алхь + 1)я|1+.1Хй+2 ... х„ = 0, Т. е. х1я1х2а2... хй+,яА + 1Х(,+2... х„ =0, и утверждение справедливо дли к + 1. Рассмотрим теперь для произвольной подстановки о выражепне (^омУа!?! ••• ^п))"" ^ этом пропзведепип можно выделить сомножитель вида Х]Я1х2я2 .. .хп_1яп-1хп, что и доказывает равеиство его иулю.
377. Имеем е = У ~ + РК, где Л„ = —1-^, 0 < 6 < 1.
Пусть « = р.'д, где р и 5 — натуральные; возьмем Л' > д, тогда е
118
¦V 1
можно представить в виде С/Л!. С другой стороны,^ = ^—р+ Лл, = Р
= ]уг п Д« должно быть не меньше, чем 1/Л'1 (так как П.цф
ее 1
ф 0), в то время как ^ ^ < -дг, прп N^2.
379. Возьмем в качестве С область, ограниченную кривыми ;/= = ±У1 — \х\ (—І^і^І). Нетрудно проверить, чго Є строго выпукла. Пусть ос = т\ где т — патуральнос; тогда иС ограннче-
Г її
па этих
на кривыми у = + т" У1 — | ~» | = ± т ~\/ т2 — | я |, п
кривых расположено 4т > = т точек с целочисленными координатами, а именно, ючкп с абсциссами х = ± (т2 — і2) (г = 0,
1.....т).
381. Имеем
о(П) = П(і + 9г+-+вІІ) = «]](і+~ + "- + Ч->)'
і=1 і=1 V ч' ?1 /
где я = "і" ... и о; — простые. Отсюда
* ' 1 \
•р (п) а (п) = п2 \\ (і - -г^т І < л2,
і=і V іі І
Ч(п)а(п)^п2\\ ^1_-||, где рі — і-е простое число. По
4 9 І
^ 4
оо .
С _ г. V і VI
(р,П-1-1)=1 /'^Т 1) ^
1<р<п р-1-9=й-|-і
(р,сО=і
(Р,"+ї.= 1 И« + 1) і<р^п+1)/2 А» (* + 1 -1<р<їі (р.»+1)=1
= У -1__у _і
у 1 = 1 у _1_ _)__
Кр<(»+1)/2 ' 1 1<р<(п 4-1)/2
(р,п И)=1 (р,п-|-1>=1
1<р<п (р,п+1)=1
так что Бп+\ = !?„ и 1?„ = 1/2.
385. Имеем (га + 1)3+(— ге)Н(— ")3+ (" — 1 )3= 6п, т. е. любое целое число, делящееся на 6, предстивпмо в виде суммы четырех кубов целых чисел. Далее, 6л + 1 = С/г + I3, 6га + 2 = 6(/г — 1) + + 23, 6/2 + 3 = 6(га — 4) + З3, 6и + 4 = 6(га + 2) + (- 2)3, Ога + + 5 = 6(га + 1) + (—I)3, откуда и вытекает, что любое целое чпсло представпмо в виде суммы пятп кубов целых чисел.
387. Пусть Л/ — мпожество команд, удовлетворяющее условиям 1) и 2) и содержащее максимальное число команд. Представим М
в виде и М., где Мг — подмножество Л/, состоящее из команд, со-
держащих по i человек; Мтф 0 п Меф 0, г ^ «. Пусть 5 >5. Рассмотрим мпожество N команд, получающихся из команд множества Л/, всевозможными исключениями одного участника; тшда в каждую команду N входит в — 1 студспт, и нетрудно проверить, 6—1
что М' = и М. и Л' удовлетворяет условиям 1) и 2). Прп этом
1=Т
е—1
Л'П [] Л/. = 0, так что |Л/'| = |Л/| + |Л'| — \М,\. Заметим, что
каждая комапда из Л/„ содержит ровно х команд пз а каждая команда на /V содержится пс более чем в 11 — ж командах нз М,. Следовательно,
(И-'.)|Л'|>«|*,|, т.е. \^\>л^=т3\ме\>-^\мв\>\м1
так что > |Л/|, чего быть пе может в силу максимальности |Л/|. Получаем, таким образом, что ж ^ 5. Апалогпчпо, если г < 5, то приходим к противоречию, рассматривая мпожество а
М" = и Л/.и^', где /V'—множество всех команд по г + 1 че-
1=г+1 '
ловек в каждой, содержащих команды из Мг. В результате г = х = = 5, и М состоит из всевозможных комапд по 5 человек; число этих комапд равно С\й.
х2 у2
389. Пусть дан эллипс + у- = 1, причем а < 6. Тог-
х2 т2 г/2 г/2 Да ¦рг<"^- откуда для точки эллипса (х; у):
< 1, 1 <^7 + р", а2 ^ х2 + у2 <? Ь\а < гГ^2+7<Ь, что и требовалось доказать.
120
391. Имеем
54 = »3 _ Г = А 4»1 о 3
1
5а = \ 141 — Р (1 — О = -1. — г2 + .1*«,
у о 3
(5, +5,)' = 4«2-2г,
п эта производпая отрицательна при 0 < * < 1/2, положительна при < > 1/2 и равна нулю при « = 1/2. Отсюда (5| +52)т1п = 1/4 достигается для * = 1/2, а (5, + 52)ша, = 2/3 — прп ( = 1. Задачу можно решать н из геометрических соображений, рассматривая кривую, симметричную кривой у = х2 относительно вертикальной прямой х = 1/2.
393. ответ. (\Г&+ур)т.
395. Пусть вырезан сектор в ф радпан; тогда пз оставшейся части можно свернуть коническую воронку высоты
