Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 18

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 65 >> Следующая

а"= 2(1п2)'1+Т + °(і1п2)"-0 при п-> оо.
494. (1 секция, 2—6 курсы). Доказать, что если функция и (х) непрерывно дифференцируема на полуоси х > О,
и(х) —0 при х 1 п сходится интеграл § х (и'(x))"dx, то
о
1 (к) = | и' (х + к) (и (х + к) — и (х)) dx-*-0

при /г-*-0-|-. (При доказательстве можно использовать неравенство Буняковского
' Ь \ 2 Ь Ь
] і (х) Е (х) €х\ < | /2 (х) dx | г» (х) их
ча } а а
для непрерывных на [а. Ь] функций / п ?.)'
495. (1 секция, 2—6 курсы). Известно, что ряд
\ — сходится, где с„ ^ 0. Доказать, что сходится ряд
л п=1
с
V V
А=1п=1
496. (1 секппп, 2—6 курсы). Пусть f(x, у) == о.г2 + '+ 2bxy -J- су2, где а, Ь, с — действительные, причем D = ас — Ъ2 > 0. Доказать, что существуют целые числа и, v, не равные одновременно нулю, такие, что
,/(,,, »Ж(^)"2.
497. (1 секция, 2—6 курсы). Пусть функция f(x) определена при — R < х < R и lim/(ж) = со. Точку
x = U назовем полюсом функции f(x), если существует натуральное п такое, что (х — R)"j(x) может быть доопределена по непрерывности (слева) в точке х = R, а доопределенная таким образом на (— R, R] функция в- точке х = R имеет левосторонние производные всех порядков, причем ее формальное разложение в ряд Тей-
5 В. А. Садовничий А. С. Поднолшн
лора по степеням (ж — /?)* сходится к (x — R)"i(x) для х е= (Я — ft, /?) при некотором 6 > 0. Пусть ряд
оо
2? ahXh имеет радиус сходимости, равный 1. Если точка h i °°
х = 1 является полюсом для / {х) — 2j flft.r , то ah не
с 1
стремится к 0 при /с->оо.
498. (1 секция, 2—6 курсы). Найти все действительные числа с такие, что дли любого натурального п п' — пелое ЧИ( ю.
49-9. (2 секция, 1 курс). Доказать, что абсолютная величина значения k-ii производной функции у = cos3х
Qft 3
в произвольной точке х не превосходит -!-.
4
500. (2 секция, 1 курс). Пусть Мп — множество матриц размера п X п с действительными коэффициентами,
п
Тг(Л) = 2 аи — след матрицы А = Доказать, что
р !
если Тг(у!А) = 0 для всех X?M„. то А = 0.
501. (2 секция. 1 курс). Дано уравнение .г3 + ах2 -\--f- Ъх 4- г — 0. Найти нес действительные значения а и Ъ такие, что то уравнение имеет не более двух положительных корней при Bet х действительных значениях с.
502. (2 секции. I курс). Найти наименьшее значение, которое принимает для целых х, у, не равных одновременно ну по, выражений 1Ъх2 4- 1 ixy — 5_i/2|.
503. (2 и 3 с кипи, 2—0 курсы). При каких г все частичные суммы ряда
-7j- -f- Г COS 1 7 2 LOS 2х + Г3 COS ЧХ 4г г4 cos Sx4- ...
неотрицательны ч ш всех -т?
504. (2 секпия. 2—G курсы). Пусть А—квадратная матрица размера п X п. Доказать, что
ЦА-Щ'г=- %\Ак-КЕ\,
(4=1
где Ah — матрица размера (п — 1) X (п — 1)', полученная из А вычо]живапием ft-й строки и к-то столбца.
505. (2 секция, 2—0 курсы). Доказать, что если непрерывно дифференцируемая на всей плоскости Оху
функция/( у) удовлетворяет уравпенню4-/-^-= 0,
то 1{х, у) есть константа.
506. (2 секция, 2—6 курсы). Найти а такое, что су-
X
ществует предел Um (г — 1)" \ -j-j— dt, и вычпе шть этот
J 11,1
предел. ¦
507. (3 секция, 1 курс). Дан эллипс 4,г2 + у2 = 5. Найти уравнение параболы, которая касается этого эллипса в точках х =Х у—1 и х = у = — 1.
508. (3 секция, 1 курс)./1 = — матрица размера 3X3. Известно, что для любого I вн>2|а»у|- Доказать,
1 i
что определитель матрицы А пе равен пулю.
509. (3 секция, 1 курс). Найти
[тC0Sa)
cos I
lim —г-„_o sin (sui x)
510. (3 секция, 1 курс). Пусть P — точка, лежащая на гиперболе ху = 4, и Q — точка эллипса ж.2 Ч~ 4(/2 = 4. Доказать, что расстояние от Р до Q не меньше 1.
511. (3 секция, 2—6 курсы). Пусть Л = |° ^j, где
а, Ь, с — действительные числа. Найти все такие а, Ь, с, что некоторая степень А" матрицы А (п — натуральное)
/1 0\ имеет вид I 0 j 1.
512. (3 секция, 2—6 курсы). Найти функцию у = / (.г), являющуюся при х > 0 решением дифференциального уравнения ху' -f- у -\- 2ху = 1 п принимающую в точке х — 1 значение 1.
513. (3 секция, 2—6 курсы). Найти площадь частп эллипса + ~ = 1, расположенной ниже параболы у —
~~ 32 Х -
514. (3 секция, 2—6 курсы). Вычислить
п
lira -4, fin fl
П~>-*> I fl J \ } ? j

66
ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКИХ КОНКУРСОВ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Глава III
515. Установить взапмпо однозначное соответствие между отрезном [О, 1] и интервалом (О, 1).
516. Доказать, что если А —счетное множество точек плоскости, то А представимо в виде /4iD^2, где пересечение А\ с каждой прямой, параллельной оси абсцисс, а также пересечение Ai с каждой прямой, параллельной вси ординат, содержат конечное число точек.
517. Существует ли такое континуальное семейство А подмножеств натурального ряда, что для любых двух подмножеств х и у, входящих в А, выполнено либо х'—у, либо у S я?
518. Можно ли расположить па плоскости континуум букв Т различных .размеров так, чтобы они не пересекались друг с другом?
519. Доказать, что для любого конечного семейства {Ai)iiei подмножеств множества В выполнено
U П U {{A]k\Aih)\)A'a\)Au) = B, где А'и = В\А„.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed