Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, каждый интеграл постоянен вдоль каждой характеристики. Если интеграл имеет на окружности г — 1 значение С, то, так как винтовые и спиралевидные кривые произвольно близко подходят к этому кругу, он должен иметь то же значение С также и на всех этих кривых, и таким образом — также на положительной полуоси z. Следовательно, он имеет значение С на всех характеристиках в рассматриваемой области и, таким образом, во всей этой области.
Этот пример, автором которого является Е. Digel, был опубликован Е. Kamke, Math. Zeitschrift 42 (1937), стр. 288. Аналогичный пример построил Т. Wazewskl, Mathematlca 9 (1935), стр. 179.
3.46. 2xzwx+y{z + 1)даУ4-*у(г+ l)2wz = 0.
Положим w(x, у, z) = ?,(x, s, z), где s = xy. Тогда дифференциальное уравнение для Z имеет решение z — s. Метод редукции ч. I, п. 3.5 теперь дает для исходного уравнения интегральный базис:
_ г— ху . ху___1__1
2 ХУ- (г_л:у + 1)2 ,п г+{ {z+l){z-xy + l) ~21ПХ'
3.47. xy"-wx 4- 2y*wy 4- 2 (yz — *2)2 wx = 0.
х2
Частное решение: —. Если к уравнению применить метод
редукции ч. I, п. 3.5, подставив w(x, у, z) — v(x, ц, 2), х2
т) = —, то оно перейдет в уравнение
xvx-\-2(z — nfvz = 0
с решением х2 exp . Поэтому данное уравнение имеет интегральный базис
х2 у
у Уехр-^Г^.
3.48. х (у3 — 2х?) wx-\-y (2у3 — ж3) wy 4- 9z (л3—у3) wz = 0.
Интегральный базис: x3y&z, -^-4-"^у-
186 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.49
3.49. х2 (ху — z2) wx 4- ху (ху — z2) wy +yz (yz -\- 2х2) wa = 0.
Интегральный базис: ~, х"у г*х .
5.60. х (г* — у*) Wx+y (х* — 2z*) wy-\-z (2у* — х*) wz = 0.
Интегральный базис: х* -\- у4 -f- 24, x2yz.
3.51. х(уп~ zn) wx +у (г" — *п) wy 4- г (хп —у) даг = 0.
Интегральный базис: xyz, х" у" -\- z".
3.52. xwx 4- ywy 4- a Ух2-\-у2 wx = 0.
Интегральный базис:• а Ух2 -\- у2 — z.
3.53. xwx 4- ywy 4- (г — a Ух2 -\-y2 -\- z2) <wz = 0.
Первые два из характеристических уравнений *' (О = а:, у' (г) = у, z'(t) = z — a yx2 + y2-\-z2
у у
даютС,, т. е. ф] = ——интеграл. Если подставить в третье характеристическое уравнение у = Схх, то для х > 0 получаем:
и отсюда, полагая z — хи (х), находим обыкновенное дифференциальное уравнение
хи'~\-а Уи2-\-С\~\- 1 =0. Из этого уравнения имеем:
ха (и 4- VV4-C,4- 1 ) = С2. Подстановка выражений для С, и а приводит к интегралу
ф2 = jfO-l (г 4- ул2_|_у2_|_22).
ф! и ф2 образуют интегральный базис. 3.64. zYy2 + z2wx-\-azYx2~\-z2Wy —
— (х УзР+г2 4- ay yW+z2) чог = 0.
Из характеристических уравнений находим, что хх' 4- уу' 4~ zz' = 0,
следовательно,
ф!(л, у, 2) = х2 4~ У2 + 22
&581 42—59. f(x, у, z)wx+g(x, у, 2) ад y +ft (л:, у, z)wz=0 187
— интеграл. Если теперь заменить х2 -f- у2-|- z2 = г2 (см. ч. I, п. 3.5 (в)) и исключить z из характеристических уравнений, то получим уравнение
ах' _ у'
— *2 ~ V>2 —у2 '
а отсюда — интеграл
ф2 = a arcsin — arcsin -j , где г2 = х2-f- у2 + г2.
Оба найденных интеграла ф, и ф2 образуют базис.
3.55. Wx—ywy ctg x + zwz ctg х~0.
Интегральный базис: yz, ys'mx.
3.56. wxtgx-\-Wytgy-\-wztgz^O.
Интегральный базис: s[nx , Slny . r sin у sm z
3.57. wx ctg д; -|- Wy ctg у + we ctg z — 0.
., „ , cos a: cosy
Интегральный базис: -, -— .
r cos у cos z
3.58. xwx -\-yWy -(- [г +f(x, y)] wz = 0.
Из характеристических уравнений
x'(t) = x, у'(0 = У. г/(/) = г + /(*. У) прежде всего получаем =С,. Следовательно, ф1(дс. у, z)=^ —
интеграл. Тогда из третьего характеристического уравнения имеем:
z' (0 = 2 + /(jc, С^),
а после присоединения к этому уравнению первого характеристического уравнения получаем линейное дифференциальное уравнение
dz _ z' (t) _ z f (x, C,x) dx x' (t) x t" x
Отсюда
z = C2x+x J /ftfc'Q dr.
a
Следовательно, если подставить выражение для С,, то
z = С2х + х | / (f, J г) Г2 д7. (1>
38 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [?59
л
z = С2х + су j
dt
О У (C2 + r2)(C2+jgl)
или после замены переменных t = xl,
1
z — С2х -f- сху j
е V(c* + x*?)(c* + y%*) '
это эллиптический интеграл с постоянными пределами интегрирования.
.59. (y-z) Vfjx) wx + (г-х) VfU) wy + (*~У) УЖ) = 0,
v=0
Функция
„¦ — / (У —g) VTW 4 (г - x) Vfti) + (x - y) VfJx))2 _ \ (y-z)(z-x)(x-y) J
— a6(x-\-y-\-z)2 — a5(x + y + z)
является интегралом. Замена
w(x. у, z)=W(l, tj, 0, ?=I, t]=1. ? = 1
исходное уравнение переводит в такое же уравнение относительно |, г], ?, V/ вместо х, у, z, w и с f*(t) = а^6-\- ... 4 а& Поэтому функция
_ /У2^2 (У—?) T/'7W+^ (¦?-*) //(y~)+*V (*-у) У7Щ2 __ \ -^У* (У — z) (г — х) (х — у) /
-°ой+7+т)2-0»(^+у+т)
является также (вообще говоря, не зависящим от прежнего) интегралом дифференциального уравнения; в этой формуле f(t) снова имеет первоначальное значение. См. также 4.12.
Функция ty2(x, У' z)< получающаяся после разрешения этого уравнения относительно С2, является вторым интегралом исходного уравнения. Если, например,
