Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(*1Х4 + *2*б) (XlPl + X2Pl) — (*l 4- Х%) рз —
— [(л-,л-4 4- х2х5) х4 4- л-J р4 — [(ХуХ4 4- х2хь) х5 4- л-2] р5 «= 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для первого уравнения можно обычным методом найти базис:
*1*4 4" *2*6 — Х3- (Х1Х4 4- X.2X5f 4- ДГ, 4- ДГ2.
Он, как легко проверить, является одновременно интегральным базисом для всей системы.
6.26. дг,р, + дг2р2 4- (дг,дг4 4- дг2дт5) р3 = 0,
[(дг,дг4 4- д^дгд) дг4 4- д-,] р4 4- [fax, 4- д^.) дг5 4- д:2] р5 = 0.
После образования скобок^если принять во внимание второе уравнение, получается р3==ХГгДегко проверить, что р3 = 0.
5.28J 24—29. ПЯТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ДВА УРАВНЕНИЯ 205
X\Pi+- х2р2 = 0. и второе из данных уравнений образует полную систему, уравнения которой можно решать порознь. Базисом для данной системы служат функции
Х\ (х2х4 — Х\Х§)2
х2' х\ 4-4+1
Б.27. [(*,*5-*Л) J5rb«V*4+*l] Pl+H****—****) *4+***6+*г] Р2+ + [(^+4) Лв+^+лУв] Р3 = °» (X3X4+Xl) Р4-Н*3Х5+Х2) Рб = °-
Образование скобок и прибавление первого уравнения, умноженного на 2х3, ко второму, умноженному на —(х2-+х2 ~f- 1), дает:
1(х2х4 — ххх^ х2 Н- (х3х4 + х,) х3] рх 4- f(x,x5 — х2х4) х, 4-
4- (х3х5 4- х2) х3| р2 — [(х,х4 4- х2х5) х3 4- х\ 4- х.2] р3 = 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная, следовательно, базис состоит из двух функций. Для второго уравнения легко находится интеграл
XsXt 4- хх хъхь 4" х2
Он удовлетворяет первому уравнению, а следовательно, и третьему. Если теперь применить метод редукции ч. I, п. 6.7 (а), то находится еще один интеграл:
Х\Х$-X2Xt
х3х5 4" хз
Эти две выписанные функции составляют интегральный базис. Б.28. (х3х5 4- х2) р, — (х3х4 4- х,) р., 4- (х2х4 — х,х5) р3 = 0,
\*А (Х<*-Х1Хъ) + ¦***» + **] Р4-\Х5 (Х1Х5-Х2Х4)+Х3*4+ *l] Р5 = 0.
Образование скобок и вычитание первого уравнения, умноженного на (х,х5 — х2х4), дает:
' (х3х4 + xi) x3Pi 4- (х3р54-х2) х3/>24-(х2х4—х1х5) (х2/>,—х,р2)—
— И + х\ 4- (х,х4 4- х2х5) х3] рг — {х\ 4- х| 4-1) X
X [(*3х4 4- xt) Pi 4- (х3х5 4- х2) р5] = 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для первого уравнения легко находятся решения
х\ 4" х\ 4- х3, х1х4 4- х2х5 х3,
для второго — решение
(xix44-xax5 — х3)г xl + xl+l '¦
206 гл. v. системы линейных и квазилинейных уравнений [5.29
У2+1 ' (y24-l)s* (у24-1)3'
Это последнее удовлетворяет также первому уравнению. Поэтому исходная система имеет базис
v2 i уЛ i „2 (x\*i 4~ Х2ХЪ — Xs)3
у 2+ 3" 4+4+1 *
S.29. х%рх — ххрг + 2дг4р3 4- (дг. — дг3) р4 — 2*4р5 = 0, .ж^р, 4--+¦ (*! + 1) Рг + (2*Л + *A) Рз + (2*Л + *i*s) Р4 + ЗлАР5=0.
Образование скобок приводит к уравнению
{х\ Н- 1) Pi + х2Хур.2 4- Ъх{х3р3 -4- (2*,*4 -f- *2*3) р4 -4-
4- (2*2*4 + *,*5) р5 == 0.
Система, состоящая из этих трех уравнений, полная. Для первого уравнения функции
Xj J ^^2* ^3 ^ ^^3^5 "™~^ 1^3 I" ^Х^-^Х^Х^ ~~] X^Х^
составляют интегральный базис. Если применить преобразование ч. I, п. 6.7 (б) и положить
Z(Xt.....*5) = ?(У1.....Уз),
У1 = *,, у2 = *24-*2, Уз=*з+*б' У4 = лгзл;5 —Х2» У5 — ¦^1л;з4_ 2*j*2*44- *2*s.
то из трех уравнений получаются: ?У| = 0,
2*2 (Уг + 1) Sy2 4- [2 (*i*4 4- *2*5) 4- *2Уз1 ?у„ 4~
4> 4*2у4?У4 4-12 (*i*4+ х2х5) (у24- 0 4- 3*2у5] ?У8 = О, (1)
2*i (у2 4- О ?у, 4-12 (*,*3 4- х2х4) + *1Уз] Sy, 4-
Ч- 4*1У4?у, 4- [2 (*1*3Ч- ^2^4) (Уг+ 1) 4- 3*1У5] Sy. = 0. (2)
Умножим сначала уравнение (1) на уравнение (2) на —х2, и сложим результаты. Далее, умножим уравнение (1) на лг2» уравнение (2) на *j и опять сложим. Окончательно получим:
?у,4-(У2+1)?уЕ=о, (3)
и если из второго уравнения мы вычтем уравнение (3), умноженное на 2у5, то придем к уравнению
2(у24- 1)?у,4- УзСу,4-4у4и+Зу5Су5=0. (4)
Для него получается базис
У1 у'4 у1
6.32] 30-32. ПЯТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ТРИ УРАВНЕНИЯ 207
а отсюда, с помощью преобразования ч. I, п. 6.7 (б) для системы уравнений (3), (4), —базис
У* Уз (у2 +1) — у5
(У2 + 1)2' V(y* + D3 Следовательно, функции
*з*5 —(х\ + 1) А-5 4- {Х\ + 1) Л-3 — 2*^2*4
являются базисом данной системы.
30—32. Пять независимых переменных и три или четыре уравнения
6.30. 2ххрх — *3р3 = 0, 2х2р2—х4р4 + х5р6 = 0,
Система полная. Для подсистемы, состоящей из двух первых уравнений, с помощью характеристических уравнений получают базис х,х2, х2х2, х4х5. Если подставить теперь
2 = ?(у,, У2, Уз), у, — ххх\, у2 = х2х], у3 = х4х5
в третье уравнение, то получится уравнение
у2 + 4-Уз?у> = о
с базисом yt — у2, Уз/у2- Поэтому исходная система имеет базис х,х2 —х2х2,
6.31. 2x2x}p1+xlxtpi+xlxsp6==0, 2x2pi-xipi + x5p. = 0t
*2ХЬ>3 + *1*3**Р< + *i Ws = °-Система полная. Линейной комбинацией первого и третьего уравнений можно привести систему к виду 5.30.
6.32. р, + 2л-1р2+Здг2р3+4дг3р4Н-5д:4р5 = 0,
*,Р, + 2лу>2+Злу*, 4- 4*4р4 4- 5*5Р5=0,
ххрг 4- 3*?р3 4- (7ххх2-х3) р4 4- (Sx1xa-2xt 4- 4лф р3 = 0,
