Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
C^arctg^+Inl/yl+y2.
Поэтому интегральным базисом данной системы будет:
х0 1 х\-\-х\ 2 = arct* —-4--1п
*i 2 -. 4
198 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |5.5
то получается уравнение откуда
21 — у% =0,
Г 2
Следовательно, для данной системы интегральный базис получаем в виде
г— дт1+2лг2 + 3л;з
б.б. Зд:1р14-4д:2р2+бл;зР3 = 0, дг,р2 -4- 2х2ръ = 0.
Это полная система. Для первого уравнения функции
_4_ __5
х2х1 3' X'iXl 3
составляют интегральный базис. Отсюда для самой системы методом ч, I, п. 6.7 (б) получаем интегральный базис:
_а_
5.6. (x2 — x3)pi + (x3 — xl)p2-]r(xl—x2)pA = 0,
Wi + -Wa + - We = °-
При образовании скобок возникает еще одно уравнение:
(*2 — *з) (*2 + хз. — 2*i) Pi + С*з — *i) (*з + xi — 2*з) Р2 +
-+- (Ху — Х2) -+- х2 — 2лг3) j03 = 0. Детерминант всех трех уравнений равен
3 (Ху — х2) (х2 — Xg) (х3 — (дт^а + лг2дг3 -4- x3x,)
и ни в какой области не равен нулю тождественно; поэтому Ру~р2=рг^0, и, следовательно, данные уравнения имеют лишь тривиальное решение z — const.
5.7. (л;, — х2) ру — 2 (л;, — д;2) р2 3 (дг, -+- дг2 + 2х3) р3 = 0,
(*, + *3) Р, + 2 (2дг, - Зд:2 - дг3) рг - 3 (2л:, + дг2 + 3*3) р3 = 0.
Это полная система. Для первого уравнения функции
Оу 4_ у *i+2*t + 3*, z*i-rx» {Xt — Xj*
составляют интегральный базис. Если применить метод ч. I» п. 6.7 (б), т. е. подставить во второе уравнение
z(Xy, х2, x3) = ?0'i. у2), у1 = 2ху + х2, у2~Х1^^1^Х\
5.11) 10-17. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ДВА УРАВНЕНИЯ 199
х.х.
Если исходную систему редуцировать с помощью преобразования ч. I, п. 6.8:
z(xy, х2, х3)~ С (У!, у2. Уз).
уу = ху. у2 = х2, ц=С«,+ «, + *)
ХуХг
то получается система
yiCy,4-2==0, у2СУ24-2 = 0.
откуда ? =— In (у2у|). Таким образом, решения заданной системы представляются в виде
z — — In -4 решения однородной системы.
5.9. хуру + х2р2 — лг3р34-г = 0, дг2р, — *1р24-грз+^3==0-
Соответствующая (в смысле ч. I, п. 7.2) однородная система для функции w(xy, х2, х3, х4), где jt4 = 2, является полной: xiWXl 4- xiwXi — xgwx, — x4wxt - 0, x2wXl — x\wXi -\-4 xnWXi — x3wXt — 0. Это с точностью до обозначений — система 5.12. Для нее интегральным базисом служат функции
х\х3~\~х2ха' -x2x3~\~X\Xf
Решения исходной системы получают, разрешая относительно z уравнение
q(xyz — x2x3, x2z 4- хух3) =; 0.
10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения
5.10. р,4-р2 —2р3 = 0, xipy + xip2—(xt + x2)p3-\-xtp1iZ=0; см. ч. I, п. 6.7(a).
5.11. л,р,4-^2р2 = 0, р14-р24-^,(рз4-р4)==0.
При образовании скобок возникает уравнение Pi + Рг — х\ (Рз + Pi> 0-
5.8. ху (ху + х2) р, + {х2х3 + х\ — х\) р3 -+- 2 (л, -+- х2) == 0,
х2 (ху + х~) рг + (xtx3 + х] — х\) р3 4 2 (ху 4- *2) = 0.
Это полная система. Каждое из соответствующих (в смысле ч. I, п. 6.8) однородных уравнений можно легко решить. Если применить метод ч. I, п. 6.7 (б), то для однородной системы получается базис
200 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ [5.12
Комбинированием всех трех уравнений получаем:
Pi + p2 = °. *iPi + Л-2Р2 = °. и кроме, для хх Ф 0
Рз4-Р4 = 0.
Из двух первых полученных уравнений следует /?, = />2 = 0 для xi Ф х2' т- е- искомое решение не зависит от х1г х2. Третье полученное уравнение можно легко решить. Окончательно, в качестве решения исходной системы получаем:
z = Q(x3— хА).
5. 12. xtpt — х2рг-f-х3р3 — х4р4 == 0, x3pt + Xip2 — xlp3—x,lpA = 0.
Это инволюционная система. Для первого уравнения функции xtx2, х2х3, х3х4 составляют интегральный базис. Если, следуя методу ч. I, 6.7^6), сделать замену
z(xt.....л-4) = ?(у1( .... у4), у, = ХуХ2, у2 = х2х3,
Уз = х3х4, у4 = х4, то первое уравнение примет вид ?У1 = 0, а второе —¦
Это последнее имеет интегральный базис У1 + У3, — у2.
Уг
Следовательно, исходная система имеет в качестве интегрального базиса следующие функции:
6.13.— xiPj -+- хгр2-\-дг4р34-л-3/74=0, 2 дг4) р24-*2 (/>3+Р4)'= 0.
Это инволюционная система. Для второго уравнения легко находится интегральный базис: xv х3 — л"4, х\—4х3х4. Если применить метод ч. I, п. 6.7 (б), т. е. подставить в первое уравнение
2(хг.....x4) = t,(y1, у2, у3, у4), Уу = Ху, у2 = х3 — хА,
Уз = ЛГ2 ^X3XV у4 = Х4,
то получается уравнение
^У1 + У2^ + (4у2-2у3)(:уз-0
5.181 18—23. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ТРИ УРАВНЕНИЯ 201
с базисом -^2., у2 (у3—у2.). При этом для первоначальной системы получается интегральный базис:
^=f±, x\[x\-(xz + xtf\.
б. 14. ду», + х#г—xtp3-x2p4 = 0, дг4р, + лу», — х2р3 — лг,р4 = 0. Это инволюционная система. Базисом являются функции
ХуХ.2 ~\ Х^Хф ЛГ2 -1 Х~2 ~\ Х^ —| Х^.
S.15. (^д^+дг^з) р, + (дг3л-4 — ХуХ2) р3 — (х\ + х\) р4 = 0,
(лг,*, + Хйх3) р2 — (х\ + 4) р3 + (лг3л-4 — ххх2) р4 == 0.
Если умножить первое уравнение на х,, второе —на — х2 и затем сложить оба уравнения, то, с точностью до множителя xtxt-\-х2х3, получается первое из уравнений 5.12. Аналогично из данной системы получается и второе уравнение 5.12. Следовательно, написанная выше система может быть заменена системой 5.12.
