Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
20—41. f(x, у, z)wx-\-g(x, у, z)wy + h(x, у, z)wx = 0; функции /, g, h степени ие выше второй
20—27. Одночленные коэффициенты
3.20. awx + xzwy — xywz = 0.
С помощью метода, приведенного в ч. I, п. 3.5(6), получают интегральный базис:
у24-22, у sin ^ 4- z cos Второй интеграл также можно заменить на л:2 4* 2о arctg —.
182 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Интегральный базис:
у у —а
z х
3.32. хгда* 4~ 2xywy — (2х 4- z) zwz — 0.
Интегральный базис: x(x-\-z), xyz.
3.33. xzwx—yziVy-\-(y2— x)wz — 0; см. ч. I, п. 3.3(6).
3.21. x2wx — xywy — y2wz — 0.
Интегральный базис: ху, 3xyz — у3.
3.22. ax2wx-\-by2Wy-\-cz2wz — 0.
Любые две из функций
J___1_ J___1_ J___1_
by ах cz by ' ах cz
образуют интегральный базис.
3.23. x2wx + г-гиу + 2xzwz = 0.
X2 Z2
Интегральный базис: — , у — .
3.24. xywx-\-yzWy-i-yiwie = 0.
Интегральный базис: у2 — z2, у .
3.25. xzwx+yzwv + xywz — 0.
Интегральный базис: z2 — лгу.
3.26. f-wx—xywy + 3xzwz = 0.
Интегральный базис: х2-{-у2, y3z.
3.27. yzwx — 2xzwy — 2xywz — 0.
Интегральный базис: 2х2-\-у2, 2x2-\~z2.
28—38. Двучленные коэффициенты
3.28. xwx -\~ywy 4- (хп- -\-у2) wz = 0.
Интегральный базис: х24~У2 — 2г, 2- .
3.29. 3zwx — (2х — 1) удау 4- (2дг — I) гдаг =ь 0.
Интегральный базис: уг, х2 — х — Sz.
3.30. xywx + x*Wy — (2x-\-z)ywz = 0.
Интегральный базис: х2 — у2. z2-\-xz.
3.31. xywx+y(y—a)wy-\-z{y—a) <wz = 0.
3.411 20—41. fix, у, z)wx+gix. у, z)wy + h(x, у, г)гиг=0 183»
3.34. 2xzwx — 2yzwy -f- (Зу2—л:) гуг = 0.
Интегральный базис: ху, 2x-\-3y2-\-2z2.
3.35. x(y — z)wx-\-y(z — х)wy-\-z(x~y)wx~ 0.
Интегральный базис: х-\-у-\- z, xyz.
3.36. {xz -+- у2) да, 4- (уг — 2*2) да, — (2ху -\- z2) wz = 0.
Интегральный базис: 2xz—у2, x2-\-yz.
3.37. be {х2 — a2) wx 4- с (бду 4- лег) wy-\-b (cxz 4- абу) «>г = 0.
Интегральный базис: ьУ^гсг Ьу — сг г а: — а х-\-а
Характеристики задают двухпараметрическое семейство прямых
by 4- cz = С, (х — a), *у — cz = С2 (х -\- а)
в пространстве л:, у, z.
3.38. а (у2 -\-z2)wx-\-x(bz — ay) wy —х(by + az) wz = 0.
Интегральный базис: лг24-у24-2;2> 2aavctg^-\-bln(y2-\-z2)„
39—41. Трехчленные коэффициенты
3.39. xzwx -\-yzWy 4- (ах2 4- ау2 4- bz2) <wx = 0.
Из характеристических уравнений следуют соотношения
ху' — х'у = 0
хх' 4- уу' _ zz'
х2 4- у2 ~ ах* 4 ау2 4 bz2
Второе из этих уравнений можно легко проинтегрировать, если1 сделать подстановку х2-\-у2 = и, z2 — v. Для исходного уравнения в частных производных получается интегральный базис
L а (*2 + У2) 4-(6— 1)г2 х (х2 4- у2)*
Во второй функции знаменатель может быть также заменен' на х2Ь.
3.40. 2xzwx 4- 2yzwy -\- (z2 — х2—у2) wz — 0; частный случай уравнения 3.39.
х2 А- V2 -4- z2 х2 -4- у2 -I- -г2 Интегральный базис: — '—, —' 3 —.
х у
3.41. (Адх — At) wx 4- (Ay — А2) wy 4- (AoZ — A3) wz - 0;
^v = av4-*vx4-cvy4-rfv2'; см. 4.9.
184 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [3.42
42—59. f{x, у, z)wx + g (х, у, z)wy + h (х, у, z) wg = 0; прочие случаи
¦3.42. y2zwx -+- xz2wy — xy2wz = 0.
Интегральный базис: л:2 -\- z2, у3 -f- z3.
3.43. x(bf — cz2) wx+y (cz2 — ax2) <wy + z (ax2 — by2) wx = 0.
Интегральный базис: ax2 -f- by2 -f- cz2, xyz,
3.44. (3*2+y2+z2)ywx — 2 (x2 + г2) ля», + 2xyzw« = 0.
м 4 «л х* + у* + г* 2л2 + у2 Интегральный базис: - g '-, - ' .
3.45. 1(х2-\-у> — l)x-\-y\wx^-[(x2-\-y2-l)y-x] wy-\-2zwz = 0.
Этот пример имеет принципиальное значение. Получается небольшое формальное упрощение, если уравнение умножить на —1. Характеристические уравнения после этого примут вид
x'(() = (l—x2 — y2)x — y, y'(t) = (\ —х2 — у2)у-{~х,
z'(t) = — 2z. (1)
Точка покоя этой системы: х = у = z = 0. Кроме этого тривиального решения, система (1) имеет, например, решения
х = у = 0, z = Се~21,
т. е. обе половины оси z. Если отбросить все три эти случая, то для каждого решения будет справедливо неравенство
Х* + у1ф0.
Введем полярные координаты, т. е. выберем для каждого решения x(f), y(t) двух первых уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемые функции r(t)>0, ft(f) такие, чтобы
A: = rcosf), y = rsinft.
Тогда из системы (1) получаем новую систему
г' = (1 — г2)/-- = 1, z'= — 2z. (2)
Очевидно, что можно выбрать ft = t. Все решения системы (2) тогда имеют вид
1 — = Cxe~2t, z = G>-2'.
Для С, = С2 = 0 это окружность r=l, z = 0. Для Схф0 каждая из кривых асимптотически стремится к этой окружности при t—>оо как винтовая линия или спираль. Кривые, у которых Сх < 0, С2 > 0, неограниченно приближаются к положительной полуоси z при t->—оо.
3.481.
42—59. fix, у, z) wx+glx, у, z)w +h {x, y, z) wz*=0
185-
Если из всего, пространства л:, у, z вынута отрицательная полуось z вместе с нулевой точкой, то исходное дифференциальное уравнение с частными производными не имеет особых точек, т. е. все три его коэффициента нигде не обращаются в нуль одновременно. Тем не менее это дифференциальное урав-ние, кроме тривиальных интегралов z — const, не имеет ни одного-интеграла, который существовал бы во всей только что указанной односвязной области.
