Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
б. 16. (х\ — xl) рх -4- (дг^з — дг2дг4) р3 + (л-2лг3 — *Л) Pi — 0,
(4 — *I) Pi + *ixa) Ръ+-'{*& — *Л) Pi = °-
При х\—дг3 ф О эта система эквивалентна системе 5.14.
6.17. P, + (*2 + *4 — 3*j)p3 + (AV*2 + AV*4-b *3)/>4 = 0'
Р2 + (*3*4 — хг) Рз + (*Л*4 + х2 — х1х2) Pi = °-
Образование скобок после отбрасывания лишнего множителя приводит к уравнению
Рз + *1Р4=°-
Тем самым данные уравнения можно упростить:
Р2 + х2Р4 = 0, pj + (3x2 + x3)p4 = 0.
Эти три выписанные уравнения образуют систему 5.18.
18 — 23. Четыре независимые переменные и три уравнения
6.18. Р, + (3*2 + д;3)р4=:0, Рг + л-2Р4 = 0, ря + х,рл = 0.
Это инволюционная система. Применяя преобразования Майера хх = uuv х2 = ии2, хг — ии3.
202 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ [5.19
приходим к линейному дифференциальному уравнению для функции z(xt.....x4) = Z(o, о,, .... о4):
zu+(3«2«f+200,03+«"!) zx = 0.
Интегралами этого уравнения являются функции Q (и3и\ + и2и,и3 + ^ о2о2 — дг4),
поэтому исходная система имеет интегралы Q (л-f + л-,л-з +1 х\ — ж4) .
6.19. ж,р, — лг2р2 + лу73—xjtt = 0, лу7,—дг,р3 = 0, *4р2—л:2р4==0.
Это инволюционная система. Для первого уравнения функции хух2, х2хг, х3х4 составляют базис. Если, следуя ч. I. п. 6.7(6), сделать замену
z(Xy, .... х4) = ?(у,.....у4). yi — xlt у2—хух2,
Уз == Х2Х3 У 4 = Х3Х4>
то первое уравнение переходит в ?У1 = 0, а два других—соответственно в
— У^&у. — У2У4^У4 = °. У2У?У2 + УзУ?Уа — У%у, = о.
Для первого из этих двух уравнений имеем базис у| + у|, .
Если еще раз применить то же преобразование, то для исходной системы получается, наконец, интегральный базис:
(^+л-2)(*2+*2).
6.20. 2адЧ-Ззд + 4ед + 6од=:0, Pi + 4x,p3 + 6.*:2p4== 0.
*2Рз + (2*з — ix]) р4 = 0.
Это полная система. Для второго уравнения находится интегральный базис (дальше он обозначен через у2, у3, у4). Если, следуя методу ч. I, п. 6.7(6), ввести
z(xi.....*4) = ?(У1.....У4).
У1 = х1, у2 = х2, у3 = х3 —2л;2, у4 == х4 — 5лт,лт2,
то из второго уравнения системы получается ?У[ = 0, а из двух других
ШУ2 + 4у3?уз + 5у4?у< = 0, у2?уз + 2у3?у2 = 0, т. е. мы приходим к системе 5.5 с ?, yv вместо z, xv_t.
6.23] 18-23. ЧЕТЫРЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ТРИ УРАВНЕНИЯ 203
5.21. ж1р1 + лг2р2 + лг3рз + -*4р4 = °. дг2р2 + 2лгзр3+3л:4р4 = 0,
3xlp2 + 10ход Ч- (15дг,*3+ Ю*|) р4 = 0.
Система полная. Для первого уравнения функции х2/хх, Хз/хь xjxx составляют интегральный базис. Если положить (согласно ч. I, п. 6.7(6))
Z(XX.....*4) = ?(У1.....У4>-
Хп Хъ Хл
то первое уравнение системы перейдет в ?У[ = 0, а два других—в У2^+2У3^+Зу4^ = 0, 3?уг+10у2?уз4-(15у3+10у1)?у) = 0. (1)
Для последнего из полученных уравнений (1) функции Зу3—5у|р 9у4—45у2у3-|-40у^ составляют интегральный базис. Применим еще раз преобразование ч. I, п. 6.7(6), именно, положим: ? = k(s,, s2, s3, s4), sx = yu s2 = y2, s3 = 3y3 — 5y|,
«4 = ^^'4—45y2y3 4- 40y|.
Тогда из последнего уравнения (1) получается uS2 = 0, а из предпоследнего — уравнение
2s3us? + 3s4us;= 0
с интегралом s4/s|. При этом для исходной системы получается базис
(&*2лг4 — АЬххХ2хъ -f- 40*2)2 ^Зх — ^-^2)
5.22. 2x2xy>l+xlxip4 = xl, 2x2p2 — xiPi=l,
х2х]р3-)-х^х^ —ххх3. См. 5.23.
5.23. 2x2x\pl + xlxipi + x\z, 2x2p2 — x4pi = z,
x2x4ip3-\- ххх3х,р4 = xxx3z
Система полная. Заменой и (хх, .... л:4) = In | z | она переводится в систему 5.22 с неизвестной и вместо z. Для решения системы в каждом из обоих, видов после того, как она разрешена относительно производных, имеется метод Майера ч. I, п. 6.4 редукции к одному дифференциальному уравнению.
Систему можно решать также методом первых интегралов Якоби.
Если данная система переведена (согласно ч. I, п. 7.2) в однородную систему, то получается система 5.30 с z, isz
204 гл. V. СИСТЕМЫ линейных И квазилинейных уравнении [5.24
вместо дг5, р5; решения первоначальной системы получаются из уравнения w (дг,, .... х4, г) = 0 разрешением относительно z:
z = дт2дт40 (л-,*2 — x.2xl).
24—29. Пять независимых переменных и два уравнения
5.24. x}pl — 2x5p2 + (x\1x4-2xs)p3-2xlx4pi==0, 2x5pi~\-x\p5 = 0.
Образование скобок приводит к уравнению
дт,р2 Ч- хх (1 — дт5) р3 + 2дт5р4 + х\ръ = 0,
здесь опущен множитель 2дт,. Это уравнение, в силу второго данного уравнения, можно заменить на р2-\-(1—х^)р3=0, и, таким образом, всю систему можно заменить на
х\Ру + (х\х4 — 2Х2) Рз — 2хуХ4Р4 = 0, 2х5р4-\-х\р5= 0, р2-\-(1 — х5)р3 = 0.
Теперь образование скобок приводит только к одному существенно новому уравнению, а именно, к р3 = 0. Следовательно, должно быть также р2 = 0, и остаются уравнения
xlPl — 2x4p4 — Q, 2дг5р44-дг2р5==0,
которые образуют инволюционную систему и имеют базис ДГ,ДГ4 дг5.
6.25. [(дг, дг4+*Л) *5 4- х2) р, — [(дг,дг4+*2*5) xi 4- ] р2 +
4- (JCjA-4 — дг,дг5) р3 = 0, дг2р4—дг,р5 = 0.
Образованием скобок получаем:
