Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1.
(x+l)yp + (y*~x)q = 0. (3)
Здесь xt = х, х2 = у, А0 — хъ А1 = — х2, А2 = х,, и уравнение (2) имеет вид
? * * * л.р ^ _п
Ъгж~ьж+11ж~°-
Его интегральный базис: |0-f-?j, ij-f-il; интегралами являются все функции ? = a fa + tv l\ +?2).
Теперь нужно так выбрать функцию й, чтобы из ? подстановкой (1)
и2
получилась функция только от xt, х2; это выполнено для О, (и, v) =—. Окончательно получаем;
Пример 2.
*(У + 1)Р + (У2 — *)v = yz.-
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 4.2 (а)) однородное уравнение, если вместо х, у, г писать xt, х2, х3, имеет вид
xi (*2+1) Р + {*1 — -^1)^2 +^3^3 = 0; (4)
это уравнение типа 4.9 с А0 = л:2, Л, = — л:,, Л2 = хи Аг — 0. Уравнение (2) здесь имеет вид
Из его характеристических уравнений получаем интегральный базис
?. = ёз, e2=i,+i2. 6i+«i+b)iniE,i.
Каждая непрерывно дифференцируемая функция ? = Q ?2, ?з) есть снова интеграл.
Теперь надо найти такую функцию й, чтобы при подстановке (1) получилась функция только от хи хг, х3; это выполнено, например, в случае, если
& _ 1з. ха
4 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [4.10
это не достигается из-за логарифмического члена. Но если добавить сюда еще In I ?21. то получится интеграл
Е. + Ь + I Ь I *1+*2+п| *,
Окончательно, для уравнения (4) имеем базис
х + У х + у r I х \' а для исходного неоднородного уравнения — интегралы
г_„+у)в(?=1 + 1„|Д±*|).
\=1 к=1
Согласно ч. I, п. 4.2, это неоднородное линейное уравнение можно преобразовать в однородное уравнение 4.9.
т п
п. 2<*-лл)-?-+2/.(*. .
v=1 v=l
m
Л, = «!vo4- 2 axkxk.
Методом Xecce (см. 4.9) здесь также можно добиться, чтобы первые коэффициенты стали линейными. Если положить
z(xl.....хт, У|, .... у„) = ?(|о.....1/я« vi.....Уп)'
где
v _1l у _Jm.
1 — t » Лт— t •
So So
то из данного уравнения получится
т п
24?+2/.&......
v=6 v=l
где
m
— S й\>и1и-
Если, в частности, п=1, ft=l, то в характеристических уравнениях может быть выбрано в качестве независимого переменного у = у у, тогда характеристические уравнения образуют линейную систему
• К(у)=К- v==1.....т-
R. Н. J. Qerraay, Annates Bruxelles 59 (1939), стр. 139—144, распространил изложенный метод на случай, когда aVK является функциями хр.
121 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 195
.12. ?ii?g?-pv==o, /(0 = ?<MV. ^ О = Ц ('-**)•
v=l v=0 ft=l
При преобразовании
2(xlt .... Jf„) = S(|i.....I„). Iv —T~
данное уравнение переходит в такое же уравнение с |v, ? вместо xv, г и с f{t) = a0t2n -+-•••+ й2п. Если для первоначального уравнения найден какой-нибудь интеграл, то второй
1
интеграл получают, заменяя х на — и й0, ..., а2п на
с2„, ¦ • во-
Интегралами служат функции
\v=l / \V=1 / v=l
v=l
если a, p — два корня f(x); для любого с.
ГЛАВА V
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1—2. Две независимые переменные
6.1. yp = xq, xp-\-yq = z.
Разрешая эти уравнения относительно р, д, получим
?—__?_ q — у • г x2-f-y2 * z аг2-4-У2 '
следовательно,
z = с Ух2 -\- у2.
6.2. {х(х—а) — z — с]р+у(х — a)q — (x—2a)z — сх,
x(y — b)p-\~[y(y — b) — z — c]q = (y — 2b)z — cy.
Эту систему можно записать еще и в другом виде: (дг — а)(хр-\-уд — 2z) = (z + c)(p — х), 1 (y—b)(xp + yg — 2z) = (z-\-c)(g — у). / ()
Отсюда следует, что
(z + c) {(у — Ь)(р — х) — (х—а)(д — у)] = 0.
Поскольку z = — с при с ф 0 не является решением системы, то должно быть равно нулю выражение в квадратных скобках, т. е.
(у — b) р — (х — a)q = ay — Ьх.
Исходная система может быть заменена этим и первым уравнением (1).
Теперь переходим к соответствующим (в смысле ч. 1, п. 7.2) однородным уравнениям:
(у — b)wx — (х — a)wy-\-(ay—bx) wz = 0, (2)
[дг (дг — с) — z — с] wx -\- у (х — a) wy -j-
-(-[(* — 2а) z — cx\wz = 0. (3)
5.4| 3-9. ТРИ НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 197
Для уравнения (2) из характеристических уравнений получается интегральный базис:
(х — й)2 -+- (у — b)2, z — ах — ау.
Если мы, следуя методу ч. I, п. 6.7 (б), сделаем замену
w (х, у. г) — Ъ ft,, |2, у, ?, = (« — с)2 + (у — Й)2,
|2=2 — «ЛГ — Ьу. |з = 2,
то уравнение (2) перейдет в уравнение ?g, = 0. Эта же замена превращает уравнение (3) в уравнение 2.4:
для которого легко находится интегральный базис:
Ь—2Ь — а» —У
(?2-с)2
Таким образом, решение исходной системы получим, разрешая относительно z соотношение
С, (z — ax — by — с)2 = С2 (2z — х2 — у2).
3—9. Три независимые переменные
6.3. pt — p2 = z, р,— р3 = 2; см. ч. I, п. 6.4.
6.4. *1P1 + A:2p2 + -V'3=::0' хгР\—х\Рг — хзРз = 0-
Это инволюционная система. Для первого уравнения функции —, — составляют интегральный базис. Если* следуя ме--*з хз
тоду ч. I, п. 6.7 (б), мы сделаем замену
zOi, х2. х3) = t,(у,, у2, Уз), у1 = ^-, У2 = -г1 • Уз=хз. то получим уравнение
с интегралом
