Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
1 —s О О
а b — s О с d f — s имеет корни 1, b, f. Далее см. 3.19.
3.13. czwx-\-(ax-\-by)wy-{-(ax+by-\-cz)'Wg = 0; частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения
x'(t) = cz, у'(t) = ах -4- by, z' (t) = ax-\-by-\-cz.
Из них следует, что х' -\-у' — z' = 0, т. е. ifo = х -4- у — z — интеграл данного уравнения. Для того чтобы применить изложенное в ч. I, п. 3.5(b), положим z — х — у=С. Тогда из написанных выше характеристических уравнений получаются следующие уравнения:
х' = с (х -\- у -\- С), у' = ах -4- by,
являющиеся характеристическими для дифференциального уравнения
c(x + y + C)^ + (ax + by)^ = Q.
Если их решить, согласно ч. I, п. 2.4, и подставить в решение еще C — z — х — у, то мы получим еще один, не зависящий от фх интеграл.
Если р2 = 4ас -\-(Ь — с)2 ф О, то находим, например, что
ib — 2ас* + (» — с — р)(ах + Ьу) , 2 . V2— 2acz + {b — с + р)(ах + Ьу) {acz
р
4- (b — с) (ах + by)z~ (ах +¦ by)2)b+c ,
если афЬ, и
ф2 = {а(х + у)4-cz] ехр{(1 +1) gC^~—y }• если a=zb-
3.14. 2(х — y)wx—(х — у — z)ws — (x—у — Sz)ivz = 0; частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
x'(t) = 2x— Чу, y'(t) = — x-\-y-\-z, z'(t) = — x-{-y-\-3z.
3.171
1—19. fix. у, г) wx+g{x, у, z)wy+h(.x, у, г) и>г=0
179
= —s(s— 2)(s —4)
Характеристический определитель 2 — s —2 О —1 1 — s 1 —1 1 3 — s имеет три различных корня. Далее см. 3.19.
3.15. 2 (у — г) wx — (4jc — Sy — г) wy + (12х — Зу — 9г) тог = 0;
частный случай уравнения 3.19.
Интегральный базис:
3*-3у-*, №«-*-*>'. * 2х— у — г
3.16. (6*—Hy-\-2z)wx — (4jc— 10у-|-6г)«>у +
+ (2дс—6у-|-11г)«>г = 0; частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
x'(t) = 6x — 4y-\-2z. y'(t)= — lx-\- 10у — 6z,
z'(t) = 2x — бу+П-г.
Характеристический определитель
6 — s —4 2
—4 10 —s —6
2 —6 11 —s
имеет различные корни. Для каждого из этих корней s можно так определить числа а, р, у. что из написанных выше характеристических уравнений будет следовать равенство
(ах -f-Ру -f-yz) = s(ax + Ру + yz).
Таким образом, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
2x' + 2y' + z' _ —2x'+y'+2z' х'— 2у'+2z' 3(2д:42у4г)~ 6 (— 2x-\-y-\-2z) ~ 18 (х — 2у+2г) '
Интегрированием этих уравнений получают интегральный базис (2л-42у4г-)г (2х — у — 2zf 2x — y — 2z ' x — 2y-\-2z -
3.17. (а*4-у — z)wx— (*4ay — z) wy4 (а — 1) (у — x)Wz = 0;
частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
х' (t) — ax-\-y — z, у' (t) = — х — ау 4- z, z'(t) = (l—d)x + (a—l)y.
(s — 3)(s— 6)(s— 18)
12*
180
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
[3.1»
Характеристический определитель а—s 1 —1
1
-1
а
— а — s 1 а— 1 —s
= _5[52_(й + 3)(й_1)].
= (А — s)(B — s) (С — s) —
Далее см. 3.19.
Можно также использовать то, что выражение z-\-y-\-x — интеграл, и применить редукцию, согласно ч. I, п. 3.5.
3.18. (Ах-\-су+Ъг)wx-\-(cx-\-By-\~az) wy-\-{bx~\-ay-\-Cz)«>* = 0; частный случай уравнения 3.19.
Характеристические уравнения:
xf(t) = Ах-\-су -\-bz, у'(t)~cx-\-By-\-az,
z' (t) = bx-\-ay + Cz.
Характеристический определитель А —s с b
с В — s а Ь а С — s
— [а2 (А — s) -4- Ь2 (В — s) + с2 (С — $)] + 2abc.
Далее см. 3.19.
3.19. (сцх -\~ biy -|~ c\Z -f- а\) wx -\- (а2х -\- Ь2у 4 c2z + d2) wy +
4 (азХ + Ьцу + C3Z 4- d3) Wz — 0. Ср. с 2.4. Характеристическая система:
х' (t) = ахх + bxy 4- cxz 4- </,, у' (О = а2х + Ь2у 4- c2z 4- d2, z' (t) = аъх + bzy 4 c3z 4- dz.
Решения этой системы зависят от корней характеристического определителя ')
Ь0 — s
c3 — s
') [См. Петровский, стр. 170—174; Степанов, стр. 283—297; Камке, стр. 90. — Прим. ред.]
3.201
20—41. fix, у, z)wx+gix, у, z)w +h{x, у, z) wz=0
Если s — его корень, то можно найти числа а, В, у, не равные одновременно нулю, для которых
ас, -j- Ва2 4- yas = as,
0^4-6*2 4- Y&3=Bs,
acj 4-Pc24-YC3=ys.
Тогда из характеристических уравнений следует, что
a*'4-ey'4-Y2' = s(cu:4-By4-c2)4-D, (1>
где .
0 = 0^,4-6^4- извели s = D = 0, то отсюда получают интеграл ах-\-$у-\-yz~ уравнения в частных производных.
Если характеристический определитель имеет два отличных друг от друга и от нуля корня slt s2, то получают два уравнения типа (1), а из них — соотношение
s, (atx 4- 6,у 4-. \{г) 4- ?), s2 (a2x + р2у + \2z) + D2 ' которое дает
(a,x4-P,y4-Y,g4-g,/s,)5' _ const. (щх + р2у + y2z + D2/s2)5'
левая часть в этом равенстве — интеграл уравнения в частных. производных.
Если характеристический определитель имеет три различных корня, то можно таким образом получить интегральный^ базис. Если имеются кратные корни, то в этом случае можно-применить метод ч. I, п. 2.4. Впрочем, в этом случае можно решать систему характеристических уравнений и исключением t из решений находить интегралы уравнения в частных производных.
