Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
/(*. у) = -т- сху _,
то при о=0 уравнение (1) имеет вид
3.631 60-64. ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 189
3.61. xtks}x-\-y2Wy-\-z2wx = xyz.
Интегральный базис соответствующего однородного уравнения:
L—1 1_1
х у ' х г '
Согласно ч. I, п. 4.2, частное решение данного уравнения имеет вид
_ / х\пх__j__у lny__.__г\\лг \ .
w-xyz\(x-y)(x-z)-^(y-x)(y-z)^-(z-x)(z-y))- w
Все решения данного уравнения получают, присоединяя к решению (1) все решения однородного уравнения.
3.62. xwx -\-ywy -f- zwz = aw +/(¦*, У, г).
Для соответствующего однородного уравнения функции ^ I 5 °бразУют интегральный базис. Если (ср. ч. I, п. 4.2) произвести замену
w(x, у, z) = W(%, т), ?), l = x. r| = -J. ?=5'
то из данного уравнения получится обыкновенное дифференциальное уравнение
Щ — Ы, ID.
и, следовательно,
3.63. (y-\-z-\-w)wx-\-(z-+x-\-w)wy-\-(x-\-y-\-w)wg — 0.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 5.4) однородное дифференциальное уравнение для W=W(x, у, z, w) имеет вид
Cy + 2+w)^* + (* + * + «)Wy + (* + y + «)lP« = 0. (1)
60—64. Общие линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения
3.60. 2xwx + 3ywy + 6zwz = 6.
Частное решение: In | z |. Присоединяя к нему все решения соответствующего однородного дифференциального уравнения, получают все решения; интегральным базисом однородного уравнения являются функции
190
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
13.64
Его характеристические уравнения
x'(t) = y + z + w, у'(0 z' (t) = x-\-y + w, чи/(Г)
дают интегрируемую систему
z -\- х -4- w, 0
х' + у' +z' + ^w'
-?— = 2
x + y + z + -^w
х — у
Так как очевидно, что W — w — интеграл, то интегралами однородного уравнения (1) являются функции
Разрешая уравнение W — 0 относительно w, получают решения исходного уравнения.
3.64. (zw — лгу2) wx+y*Wy + z2wz = zw.
Соответствующее (в смысле ч. I, п. 5.4) однородное уравнение есть уравнение 4.5. Поэтому интеграл данного уравнения получится, если разрешить уравнение
относительно w. Интегралом является также функция w — —-; она обращает в нуль первый коэффициент уравнения.
ГЛАВА IV
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ И БОЛЕЕ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
4.1. р, + (*3 — -*ч) Рг + (*i + х2 + хз) Pi + (*\ + х2 + *4> Pi = °-
Интегральный базис:
х2 — *з + *4« (Хз — Хде~х'' (XjX3— хххА — хх —-х2 — хА— 1)е~х>.
4.2. xlPt + (*3 + *4) Рг + (*2 + **) Рг + (Х2 + хз) Р* = °-
Интегральный базис: хх(х2 — х3), хх(х2—д:4). *2^~х%
4.3. (х2 -4- *3 + х4) р, + (*! + *3 + *4) Р2 + 4" *2 + *4) р3 +
+ (х1-г-л:2-т-Жз)р4 = 0.
Х(*1 + *2 + *3+*4)-
4.4. JCj^p, + л^р, + д-*р3 + (ж,х2 + ax3*4) р4 = 0.
Интегральный базис: —, —, х\~а — -\~(а—1)х,х~а.
4.5. (х3х4 — ж,*2,) р, + x2xsp2 + х|р3 + x3Xipt = 0.
Очевидные интегралы: —, —. Далее, методом редукции
х% х%
ч. 1, п. 3.5 находим интеграл
4.6. *2*3*4Р, 4 х3х4хгрг 4 хлх^рл 4- ж, л:,*^ = 0.
Интегральный базис: х\ —х\, х\ — х\, х\ — х\.
Интегральный базис:
¦*4 — хг х* — xt
Xt — Хз
xt — xt
(xt-XlfX
Три найденных интеграла образуют базис.
192 ГЛ. IV. ЛИНЕПНЫЕ*УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ j4.7
где s=Jf]4- ••• -\~x5. См. также 4.3.
я
4.8. 2 -^v^v — аг? уравнение однородных функций. v=1
Интегралы в области ®(хь хп) — однородные порядка а функции 2 = ф(л;1.....хп) с непрерывными частными
производными первого порядка.
Как известно, функция ty(xt.....хп) в области © называется ¦ однородной порядка а, если для каждых двух точек
(л-,.....хп) и (г*].....txn), принадлежащих области ©
вместе с соединяющим их отрезком, можно написать равенство
Ч>('*1.....'¦*я) = 'вФ(*1.....хп).
Пример однородной функции первого порядка, которая не является полиномом: ф(л:, y) — xs'm^.
т т
4.9. 2W4e*v — A\pv = 0, ^V = av04-2«W-*;K; уравнение Xecce.
v=1 и=]
Это уравнение можно свести к уравнению с т -\- 1 независимой переменной, но с линейными коэффициентами. Именно, сделаем замену (введем однородные координаты)
z(xlt .... **m) = ?(?o. Ij, .... !„,).
где
v _ 5l „ __J>m_. /1 \
60 So
тогда
m
v=l
и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
т т
v=0 и=0
4.7. (х2 -+- хА -4- xt + *5) Р, 4- (*3 4- *4+*5 4- ¦*,) Р2 4-
4- (*4 4- *5 4- *, 4- хг) Р3 4- (*5 4- 4- *2 4- *3) Pt 4-
4- 4- 4- *3 4- *4) Ръ = °-
Интегральный базис:
*-Sfv_ v==if 2, 3, 4.
ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1Щ
В случае
13 Э. Камке
?2 li + |2 Х,-\-х2"
fc2 Si "Г S2
Каждое решение исходного уравнения дает такое решение
?(?0.....|т) уравнения (2), что из функции ? подстановкой (1)
получается функция от хь .... хт,, т. е. ?—однородная функция нулевого порядка. Наоборот, каждое решение ? уравнения (2), которое обладает этим свойством, дает в результате подстановки (1) интеграл первоначального уравнения. О решении уравнения (2) см. 3.19.