Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
• x>=^W-i), s+J&t=«.
•откуда
Затем из третьего уравнения (4) получаем:
Таким образом, характеристические уравнения проинтегрированы.
Если требуется получить интегральную поверхность, проходящую через начальную полосу
X=C0,(s), y = C02(s), 2 = (03(s), p = (o4(s), ? = co5(s), (7)
то функции со; должны удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных и условию полосы
Если, подставить в соотношения (5), (6) выражения
*0 = Ю1' Уо = Ю2. Z0 — W3. Po = <°4> 0O = «*i.
то получается интегральная поверхность в параметрическом представлении с параметрами s, t.
€.37. р (kyq -\- ах+ by -f- cz) = 1, k ф О.
Из характеристических уравнений следует:
381 34-42. f(x, y)pq+ ... 221
(а) ft-f-c=?0. Тогда получается из уравнения (1)
и, следовательно,
z~ У ~с АУ~~* ~ЬФ(¦*)•
Если подставить выражение для z в исходное дифференциальное уравнение, то получается соотношение
(Сф+а*)ф'=1, (2)
или, если и(х) — щ~\-ах,
ии' _^
аи-\-с '
здесь нужно различать случаи а Ф 0 и а = 0.
(б) ft-f-c = 0, т. е. ft = — с. Тогда из уравнения (1) получается
q = -^\ny + А,
и, следовательно,
г = -^у0пу — 1) + Ау-\-<р(х),
причем для ф снова получается уравнение (2). Если ?-f-c=jfeO, то преобразованием
be
можно свести данное уравнение к типу 6.30
—в) = А
.38. (лг—у)рд + (х — z)p-\-(z—y)q — 0.
После преобразования Лежандра приходим к дифференциальному уравнению 2.29
с интегралами
Z = (X + Y-l)Q(u), и = {Х+?-1)3 . (I)
Отсюда для первоначального уравнения получаем интегралы
в параметрическом виде
v- О (,Л _
z = хХ -f- уК — Z, x = Q(u)-\--^(2X — K+1)Q'(«),
у = Q („) + А(2К - А- + 1) Q'(B) (сюда надо приписать еще уравнения (1)).
222 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |6.39
6.39. xypq—l; уравнение с разделяющимися переменными.
Полагая z(x, у) —?(|, rj), | = 1плг, rj = lny, получаем дифференциальное уравнение 6.21 ?|^=1. Таким образом находим полный интеграл
г=А\пх-\-^-\-В.
6.40. xypq = z2; однородное уравнение.
Полагая
z = ± е$ ч>, | = 1плг, т] = 1пу. получаем уравнение 6.21 ?|?г)=1-
6.41. (л:-+О/Ч? — l)+xy2q = 0.
Можно разделить переменные
?!+!„— У'9 • х P — JZTq-'
получается полный интеграл
j А • arctg-j при верхнем знаке;
z=±^-ln(x2+l)+fi-f- Л-АггИ-^-или Л-Arcth-^
при нижнем знаке.
6.42. 1(1 — xf— у\[(\ — x)(\—p) — z\q = a(\—x)\
После замены z — (\—x)Z(u), и = ^ —х)2 полУчается
обыкновенное дифференциальное уравнение для Z(ti). Поэтому интегралом, регулярным в точке х — 0, у = 0 и равным нулю при у = 0, будет
о
43—48. f(z)pq+ ...
6.43. zpq = ap-\-bz; уравнение типа ч. 1, п.. 11.3.
—a\n\a±YAAbz2-\-a2\±V4Abz2 a2 = 2b(x+ Ау + В).
6.44. zpq = xp-\-yq.
Из характеристических уравнений получается первый интеграл-^- и (см. ч. I, п. 9.3) полный интеграл
fi.49] 49-54. (..) p' + (..) pff-f ... 223
6.46. zpq-\-x2yp + xy"-q = xyz.
Полагая z2 = C(|, ч). | = *2. Ц=У2. получаем дифференциальное уравнение Клеро
S=IC|+nS4-r-?iS4.
а отсюда — полный интеграл
z2 = Ax2 + By2 + AB. Функция 2 = 0 является особым интегралом.
6.46. (z -f-о) pq — bz2; уравнение типа ч.1, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = ?(|), \= х-\- Ау, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
А(1->га)Г,'2 = Ы2;
из него находим:
Интеграл легко берется, если сделать замену переменных а — и2. Решением также является 2 = 0.
6.47. (а 4- Ь) zpq -\-axq -\- Ьур = 0; однородное уравнение.
Полагая
z(x, у) = ?(|. т)). Ь = ^2~' ^==12<
получаем уравнение типа ч. I, п. 11. 3.
(в+ 4)^4-^4-*Се = 0; из него находим полный интеграл
6.48. z7pq — xy-\-a.
Полагая 2и (х, у) = z2, получаем уравнение 6.22 ихиу = ху-\-а.
Для решения данного уравнения можно также воспользоваться тем,: что оно имеет первые интегралы z2p2 — у2, z2q2—х2, (xp — yq)z.
49-64. (..)P!4(..)W4 ...
6.49. ар2 4- bpq = cz2; уравнения типа ч. I, п. 11.3.
z = PeKPKAx + By)Rl где /?2 = MJ+bB) .
224 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.50
получают полный интеграл
Z — у 4x4- Л2-4- А 1п--—-
+ В.
У
6.62. ахр1— (ay + b)pq + cy(ay+b)2 = 0.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл fly^_0 • Из него и из данного уравнения составляют си-
стему
р = А (ау 4- Щ, д — а Ах 4- у,
которая определяет полный интеграл
z = Ax(ay + b) + ^--{-B.
6.53. (z2-\- \)yp2 ~\- xzpq — Ах2у; обобщенное уравнение.
Подстановка z(x, у) = ?(|, ч). б1^*2. 4 = У2 сводит данное уравнение, к уравнению типа ч. I, п. 11.3
(S24-i)Ci4-Kiir,= i.
6.64. p2-\-z2pq==z2; тип ч. I, п. 11.3.
Полагая z (х, у) == С (?), I = Ах 4- Ду, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(A2+AB^'2=t2, и отсюда — полный интеграл
±(Л*4-Ду4-С) = /?4-Л1п R~A , где Д2=*ЛД,г24-Л2.
6.60. ^-р? + о/ = 0.
¦ : Из характеристических уравнений получаем первый интеграл ре~у. Далее, рассматриваем систему
