Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Р2 4- 3*,р3 4- (4*2 4- 2х\) р4 4- 5 (*3 4- *t*2) Ps = 0.
Система полная. Для первого уравнения можно легко найти
базис у2.....у5. Далее, можно применить метод ч. I, п. 6.7 (б).
Именно, если положить
z (*i.....xs) = 5(Уi- ¦ • ¦ • У5). Уi = xv у2 = х2 — х],
у3 = х3 — 3XjX24- 2х\, у4 = х4 — 4х,х3 4- 6xjx2 — Зх4, у5 = х5 — 5х,х4 4-10х2х3 — 10х3х2 4- 4х',
208 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Г5.-33
то первое уравнение примет вид ?yi = 0. После упрощения остальные уравнения приводятся к виду
2у2?У2 + Зуз?Уз + 4у4?у. + 5у5СУб = 0, ^ + 4у2?У( + 5у3?у5 = 0. у?у1 + (2у4 - 4у|) ^ = 0.
Таким образом, получается система 5.20.
33—36. Прочие системы
5.33. (лг, — дг6) р, + (хл — р2 + (х6 — х5) р& = 0, (*2 — х6) р, 4
+ (*s — хг) Рг+(-«е — -*в) А. = °> (*з - -*б) Pi + (*» - *з) Pi + + К — хь) Р^ = °. ft — *б) Pi + Os — xi) Pi+(*« — ^ Рз = °-
Система полная; ее базис: *1 4 ••• 4*6" х\хь ~Ь х2хв~\~ х3х4.
5.34. хурх -f- дува 4- лг3р3 4 л:4р4 4- лг5р5 4 *6Р6 = 0,
*iP2 + 2*2Р3 4 3*3р4 4- 4лг4р5 4- 5*^6 == О,
х2рг 4 2*3р3 4- 3xiPi 4- 4*^ + 5*6р6=0.
*,.*2р3 4 3^р4 4 рх/ь — -*г,дг4) р5+(8*Л —2*!*6+ 4х|) р6 = 0.
Скобки второго и четвертого уравнений приводят к существенно новому уравнению, а именно, к уравнению
х\р3 4 3at,x2p4 4 (4x^3 + 2х|) р6 + (5jCjX4 4- 5x2*3) рЁ = 0.
Система, состоящая из этих пяти уравнений, полная. Можно решить ее повторным применением метода ч. I, п. 6.7 (б). Для
X
первого уравнения функции ——, v=2, 6, составляют* базис. Далее, если положить
z(xv----х6) = ?(У1.....у6),
yv = -^(v=2.....6), У! = Х,,
то из данной системы получаем: ?У| = 0 и
СЛ + 2у2?Уз Ч- ШУ, Ч- 4у4?У5 + 5у5?Уб = 0, i>?y> + 2у3?у, 4- Зу4?У14- 4у5^у, 4- бу^у. = о,
У?>, + 3У?у, + (7У2У3 - У4)СУб + (8у2у4 - 2у5 4 4Уз)?ус = 0.
^ + 3^у< + (4У3 + 2У1) t» + (5У4 + 5уЛ) С,= 0, т. е. систему 5.32.
s.36]
33—36. ПРОЧИЕ СИСТЕМЫ
209
6.35. 2pv = o. 2 xr-pv=o.
v=l
Образование скобок приводит к системе 5.36.
5.зб. ipv=o, i*pv=o, i^pv=o.
v=l v=l v=l
Эта система полная. Для первого уравнения базисом служат функции xv— хп, v= 1, .... re—1. Если, согласно ч. 1, п. 6.7 (б), положить:
z(xy.....*„) = и(У1.....y„_i), yv = xv — хп,
то из второго уравнения данной системы получается уравнение
п-1
2 Уv«yv = 0;
v=l
его базис: yv/y„_i, v= 1.....re— 2. Базисом двух первых
уравнений будут функции
xv — xn t 'v==1.....п__2.
Если теперь положить
.....= • • 1«-2). Iv:
то из третьего уравнения получаем:
2iv(iv-i)?iv = o.
v=l
Для этого уравнения функции
?v- 1 ?п —2
1.....ге —3,
образуют базис.
Таким образом, для данной системы базис образуют ангармонические отношения
v = 1.....re —3.
Xv Хп Хп_2 Хп
Если к данной системе присоединить еще одно уравнение
п
..з.
2 v^v= ®> 10 получившаяся система четырех уравнений будет
иметь только тривиальный интеграл г = const. См. О. Pfeiffer, Ciornale Mat. 69 (1931), стр. 232—236.
ГЛАВА VI
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
1 — 13. ар2-\- . . .
6.1. р2 — aq-\-b; уравнение типа F(p, q)~0.
. , А*—Ь . 0 z = Ax-\--__y-4-fi.
Относительно получения интегралов из этого полного интеграла см. ч. I, п. 9.5.
В случае а — 1, b = О через параболу z — х2, у — О проходит интегральная поверхность
х2 1
z = T=4y-' где у<~4'
6.2. р2 -f-q-f- z -|- x = 0; уравнение типа ч. I, п. 11.3 для функции z~\-x.
Если сделать подстановку
* + у) = ?(6). | = л- + 2Лу, то получим обыкновенное дифференциальное уравнение
?' = 1 — А ± У А2 — 2А— ?; отсюда для определения полного интеграла получаем уравнение
Я + И— 1) In |1— A + R\ +JL-\-Ay=B. где Я2 = А2 — 2И — z — х.
6.3. р2 -4- == 6*+ су; уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
г=± ^Фх + А)''г + ^-^У + В, если » Ф 0, су2 .Д2
2 — Ах -\- ---— у~\-В, если Ь — 0.
«.91 1-13. ср*+ ... 211
6.4. р1 — axq -f- bxy; уравнение с разделяющимися переменными. 43.5. p2-\-xp = q; уравнение с разделяющимися переменными.
z =^-у —т ± т/^+^± -r-Arshi+B
и для | д; | > Л > 0.
z = — 4~у ~"Т * Т^*2 ~ Л2 + (sign ^^^Нт^5,
причем значение Arch j — j должно быть выбрано положительное.
€.6. р2 + хр— yq+2z = 0.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл р = 2Лу3, отсюда следует: 2 = 2Ллгу3-|-ф(у). Если подставить это соотношение в данное уравнение, то определяется q> и, таким образом,
z = 2 Лху3 + а2 уЬ _|_ ву2 Полным интегралом является также
6.7. Зр2 -f- хр-\- (у -\-2) q = z\ уравнение Клеро.
Полный интеграл
z — Ах -f- By -j- 3 Л2 -f- 2В. Интегралом также является
г = —^ + В(у + 2).
Особого интеграла здесь нет.
6.8. р2 аур -f- bq = с; уравнение типа ч. I, п. 11.4.
z^Ax+^-y-^f + B.
6.9. р" + «У2? + «У* Н- *!У* = О.
Полагая и (х, у) = yz (х, у), получаем уравнение с разделяющимися переменными
