Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
значениями которого являются k X ^-матрицы и который ведет себя подобно
пуассоновскому процессу, так что
\ y{t)-\-hA с вероятностью 1 - Kh-\-o(h),
y(t~rh) | ^4 4-В с вероятностью Xh-\-o(h).
Более точно, мы исходим из обычного пуассоновского процесса с моментами
времени tv появления событий, наступающих с плотностью X. Между двумя
такими tv процесс изменяется линейно, пропорционально постоянной матрице
А. В момент tv процесс у "подскакивает" на матрицу В, также постоянную.
Это определяет распределение вероятностей данного процесса. Он
удовлетворяет условию Cj (разд. 7.1), так как
2E||{/(fv)-0(#v-l)||<
2 (iv - ^v-i) [|| Л II + Я || В I! -|-o (1)] =<9 (1).
Следовательно, соответствующий мультипликативный однородный процесс х (t)
определен. Если А и В коммутируют, то х (t) есть просто х (t) = exp [tA +
п (t)B], где п (t) - случайная величина, распределенная по закону
Пуассона. Если же АВ Ф ВА, то процесс х более сложен. Во всяком случае,
мы можем вычислить достаточно просто
210
Гл. 7. Стохастические алгебры
его средние значения и вторые моменты. Полагая М (t) = [triij (t); i, / =
1, 2, mij(t) = Exu(t),
получаем
M(t + h) = Ex{t + h) = M{t)[I + hA + hXB + o(h)], так что
• M' (t) = M(t)(A + XB)
и
M (/) = ехр [t(A + Щ].
Чтобы определить моменты второго порядка, введем кг х &2-матрицу
С (0 = {Cij,ap(0; /> Р = 1, 2, =
=-- (COV [Xij(t), (г1)]},
где индексы упорядочиваются, скажем, в словарном порядке. Если мы
обозначим через R X S кронекеровское произведение двух матриц R и S, то
получим
С (t) = {Ехи (t) хац (t) - ти (t) та" (*)} =
= Ejc(0x Jt(0-M(0xM(0-
Но матрицы S (t) = Ел; (t) х * (t) удовлетворяют соотношению
S (t + h) = Ex(t + h) x x(t + h) =
= E [x(t) + x (t) Ay] X [x (t) + л; (t) Ay] +
+ члены более высокого порядка малости, где положено Ау = у (t + h) - у
(t). Следовательно,
S(t + h) = S(t) + hEx(t) xx(t) [Л + Щ +
+ hEx (t) [A -f XB] x x (/) -|- Ex (t) Ay x x (t) Ay + . ..,
так что
S'(t) = S (/) (/ x [A + bflj) + S (t) ([A + IB] x /) + XS (t)BxB и
S(/) = exp {t[Ix(A + XB) + (A + XB) x I+XBxB]}.
Можно установить асимптотическое поведение M(t) nS (t) при больших t и
распространить полученные результаты на моменты более высокого порядка.
7.5. Примеры
211
Будем теперь исходить из другого процесса у. Предположим, что у (t) имеет
нормальные распределения с независимыми приращениями и средними
значениями, равными нулю. Вторые моменты пропорциональны t, и мы пишем
^•УИ (0 Уа3 (0 == "з-
Подходящее определение нормы задается соотношением
\\и\? = (и, и),-
где
(U, V) = 2 utjVij, i> ;
a U я V - действительные k X ^-матрицы с элементами соответственно ыг; и
ьц. Чтобы проверить условие С2, нужно только рассмотреть у (R), где R -
параллелепипед BSr (см. разд. 7.1.). Но
II у (Я) И2=2 • ¦ • у$т+/&Л)* • ¦ • г/$г+1.
где сумма распространяется на все значения индексов между 1 и & и yW есть
(г/)-й элемент матрицы, представляющей приращение у (t) вдоль v-ro ребра
длины Д v параллелепипеда R. Отсюда вытекает, что
ЕI! У (R) I!2 = 2 ЕyMin¦ W&A ¦ ¦ • ЕУ(r)т+М+1 =
= 0(&2Г+16ГAiA2 ... ДГ) = 0(Cr-m(R)),
где b = шах | Ьиа$ |, С - константа, и это показывает, что наше условие
выполнено, так что соответствующий мультипликативный однородный процесс х
(t) вполне определен.
Инфинитезимальные ковариации х (i) имеют вид lim I /А {условная
ковариация [Xij(t-{-h) -
h~-> О
Xij(t)i Ха*аЗ (01) ~ h
- 2 Хц (t) (t) bij^ = Cjij аз [X (/)],
I, X=i
где условная ковариация берется при фиксированном значении х (t).
Величины qtj, а(3 (х) являются квадратичными
212
Г л. 7. Стохастические алгебры
формами элементов матрицы х, и k2 х ^-матрица <7= {<7г;,ар} может быть
записана в виде [х (t) х х (i)] В. Тогда уравнение Фоккера - Планка имеет
вид
др __ 1 v г / \ 1
~дГ ~ Т 2j dxi} дха?,^ "р W р* '
и для его решения должны быть выбраны соответствующие начальные условия.
В нашем случае следует принять Р {х (0) = 1} = 1.
Если средние значения процесса у не равны нулю, а
Е y(t) = tA, A = {ai3},
то приведенное выше уравнение будет иметь вид
= "2 /J дщ]~дх^ ар № " 2 ^^7 ^ (х) р^
где Z, = {1ц (х)} и Z, = х (t) А, так что 1ц (х) являются линейными
формами переменных Хц.
Чтобы найти ожидаемые значения процесса х, возьмем частные производные
~ Е% (t) = А т,; (0 = Е/|; (*),
так что
дт^?-~ - Ex(t)A - m (t) A; m(t) = exp(tA). Аналогично для моментов
второго порядка получаем Cij, а|3 (0 " ^Qij 1 (^)l ~~b E/jj (-*0
(0 "Ь Е/<х|3 (х) (Y),
ИЛИ
¦^P-=c(t)B + c(t)[AxI + IxA],
так что
c(t) = exp[t(B + Ax 1+ I X А)].
Сравните это с аналогичными выражениями, полученными выше в этом разделе.
Изучавшийся выше процесс х интересен при рассмотрении многих предельных
задач. Поэтому существенно важно ^найти методы, позволяющие получать
решения
7.5. Примеры
213
этих уравнений Фоккера - Планка. Конечно, можно было бы решать
непосредственно эти уравнения численными методами, но это имеет
ограниченный практический интерес, за исключением частных случаев, так
