Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 56

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 82 >> Следующая

интервала (0, t). Построим теперь однородный мультипликативный процесс х
(t), связанный с у (t) естественным образом. Выпишем формальное выражение
(см. замечания 7.1.2) t
x(t) = e+ ^ dy(s)+ ^ dy(si)dy(sz)+
0 0<si<s2 <f
+ 5^5 dy(s1)dy(s2)dy(s3) + • • ¦"
o<si<s2<s3<(
которому мы придадим сейчас точное значение.
Эти интегралы будут пониматься как пределы в сильной Lj (Х)-топологии
обычных сумм Римана - Стильтьеса. Рассмотрим второй (двойной) интеграл,
который типичен.
7.1. Аддитивные и мультипликативные предельные теоремы 189
Рис. 1
Для разбиения точками {?v} выпишем сумму Римана - Стильтьеса
5= 2 [y(Q~ y(t4-i)} [у(^) -i)L
V<H
где порядок множителей может быть существен. При измельчении разбиения
эти суммы будут сходиться к пределу, который не зависит от того, какая
последовательность разбиений выбрана. Для того чтобы доказать это,
возьмем другое разбиение t'0 = 0 < <?'<.. . < Ct = t'm и
обозначим соответствующую сумму через S'. Объединенное разбиение t\I = 0
<11'[ С ^ < . . . Ct приводит к сумме S" (рис. 1).
Каждому прямоугольнику на рисунке соответствует одно слагаемое в
соответствующей сумме. В разности S" - 5 участвуют только заштрихованные
прямоугольники, что
190
Гл. 7. Стохастические алгебры
следует из тождества (а + Ь) (с + d) = ас + be + bd + + Теперь ясно, что
имеет место в общем случае: разность S" - 5 состоит из прямоугольников,
примыкающих к диагонали, и ее норма удовлетворяет неравенству
II5" - 5 к 2II [у (Q - у (fv-i)j [у (t;+о - у (Q] || <
V
< 2 II 2 (Q - y(^v-l) ll-lly^v+l) - у (QII-
v
так что Li (Х)-норма разности удовлетворяет неравенству
Е I! 5" - 5 [К 2е II У (Q - У (tv-1) || ¦ Е || у (t;+l) - у (Q I!
V
и стремится к нулю при max (t"v+l - %) ->-0. Таким образом, S"
произвольно мало отличается otS, а следовательно, и от 5', что
показывает, что двойной интеграл однозначно определен. Но мы получаем
также границу для Lj (X)-нормы интегралов, рассматривая суммы Римана
Е || dy(sl)dy(sz) ... dy(sh) IK^f-
0 < s1<s2<---<sh<t
Следовательно, сумма, определяющая л: (t), сходится в сильной Li (Х)-
топологии, и мы имеем однородный мультипликативный процесс, так как
t + h
x(t + h) = x(t) {е+ \ dy(s)+ ^ dy (s4) dy(s2)+...}.
t t<si<s2<t+h
Для того чтобы это проверить, выписывается соответствующее соотношение
для аппроксимирующих сумм и совершается переход к пределу. Ясно,
что выражение в скобках не зависит от л: (t) и имеет то же
распределение, что
и х (К). Мы могли бы записать символически
dx (t) = х (t) dy (t)
нли
t
x(t) = e+\ x(s) dy (s).
0
Ясно также, что процесс х непрерывен.
7.1. Аддитивные и мультипликативные предельные теоремы 191
Теорема 7.1.1. Пусть у (t) - однородный случайный процесс, принимающий
значения из банаховой алгебры X с единичным элементом е и удовлетворяющий
условию непрерывности Ci. Тогда
t
x(t) = e+<\) dy (s) + ^ dy (stfdy (s2) + • ¦ •
0 0<si<s2<<
определяет однородный мультипликативный процесс.
Можно заметить, что если X - коммутативная алгебра, то мы имеем просто
t t t х (t) = e + [dy (s) + у ^ ) dy ^ dy ^ +
0 0 0 t t t t
+ 45 \ \dy(si)dy(s2)dy(s3) + ... = exp^dy(s) = expy(t).
0 0 0 0
Эта теорема представляется привлекательной, но ее польза ограничена
условием непрерывности Q. Предположим теперь, что X - банахово
пространство и топологическая алгебра с единичным элементом и что у (t)
- однородный аддитивный процесс со значениями из X,
такой,
что Е || у (t) ||2 <оо, так что можно использовать топологию Ь2 (X). Для
того чтобы определить х (/), мы исходим из сумм Римана-Стильтьеса того же
вида. В области Sr a R' всех точек (/ь t2, . . ., tr), таких, что 0 < ti
<
< /2 < • • • <tr С /, мы получаем параллелепипеды со сторонами /ь /2,
. . ., параллельными осям координат, или суммы таких параллелепипедов. С
подобным параллелепипедом q мы связываем случайный элемент у (е) = А у
(Ii) А у (/2) . . .А у (1Г), где порядок сомножителей может быть
существенным. Заметим, что таким путем мы можем определить аддитивную
случайную функцию множества у (сг), где о - конечная сумма
параллелепипедов, но эта функция множества не обладает, вообще говоря,
независимыми приращениями. Нам нужна граница для Е || у (сг) || 2, и мы
будем предполагать, что выполнено условие
С2: Е || у (о) ||2 < Сг -объем а,
192
Гл. 7. Стохастические алгебры
где С - некоторая константа, а под объемом понимается лебегова мера в r-
мерном пространстве. Теперь мы можем поступать так же, как и раньше.
Интересующие нас стохастические интегралы однозначно
определены.Действительно, разность между различными суммами Римана -
Стиль-тьеса может быть выражена, как раньше, через значения у (а), где
элементарные параллелепипеды, образующие а, покрывают только небольшую
часть ST, и отсюда вытекает единственность, как и в предыдущем случае.
?2(Х)-норма такого интеграла ограничена:
Jr (Oil2 = Е \dy (*i) dy (t2) . . . dy (tr)
<C'
JL

так что
r=0
CO
V (ct)
^ y~r\ '
r=0 '
Отсюда вытекает сходимость в сильной Ь2 (Х)-топологии рядов
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed