Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
e-fm-f-y + -y+...= exp т ? X
(см. замечания 7.1.3).
7.2. Вероятности на банаховых алгебрах
Вместе с распределением вероятностей Р на банаховой алгебре X можно
изучать свойства производных величин и понятий в этой алгебре.
Стандартные алгебраические и аналитические операции, определенные на X,
приводят к случайным элементам различной степени сложности. Распределения
вероятностей этих элементов можно было бы определить, вычислить и
изучить. Однако при попытке это сделать мы сталкиваемся со многими
трудностями, и здесь будет дан только набросок начал этой теории.
7.2. Вероятности на банаховых алгебрах 197
Пусть х - случайный элемент в X. Рассмотрим множество R регулярных
элементов алгебры, т. е. тех элементов, которые обладают обратным. R есть
открытое множество (см. замечания 7.2.!), откуда вытекает, что событие,
заключающиеся в том, что х - регулярный элемент, является борелевским
множеством, так что Р (R) определено. Если Р (R) > 0, то можно ввести
условное распределение вероятностей для лг1 при условии х 6 R
соотношением
где Л -борелевское множество в X. Но лг1 есть непрерывная функция от х
при х 6 R, так что событие {лг1 6 Л, х 6 R} является борелевским
множеством, и можно говорить о распределении обратной величины лг1.
Для фиксированного значения Я можно определить обычным образом
резольвенту R (Я, у) = (Яе - л:)-1, если этот обратный элемент
существует. Множество значений Я, для которых резольвента не существует,
есть спектр элемента х. В рассматриваемом случае спектр есть случайное
множество S. Представляется правдоподобным, что понятие случайного
спектра будет играть важную роль в будущем развитии этой теории, и
следовало бы уделить некоторое внимание его удовлетворительному
определению. Конечно, можно для фиксированного Я говорить о вероятности
Р (Х) = Р {X ? S] = Р {Хе - R],
и эта функция определяет некоторое среднее поведение спектра. Введем
индикатор / (Я, х) множества {х\Хе - х сингулярно} G X. Имеем Р (Я) - Е
{I (Я, л:)}. Для любой константы с множество {(Я, х) \ I (Я, х) <С с}
является открытым множеством в пространстве A х X, где А - комплексная Я-
плоскость. Отсюда вытекает, что функция
I (Я, х) измерима по Борелю на произведении пространств А х X, и
можно применить теорему Фубини. В частности, интегралы Лебега вида
/(Я, x)dX
198
Гл. 7. Стохастические алгебры
по борелевским множествам L С Л конечной лебеговой меры существуют почти
наверное и являются случайными величинами. Нами доказана
Теорема 7.2.1. Пусть х ¦- случайный элемент в банаховой алгебре.
Множество R регулярных элементов имеет вполне определенную вероятность Р
(R). Если Р (R) > 0, то можно говорить об условном распределении
вероятностей лг1 для х из R. Индикатор I (X, х) случайного спектра S
измерим по Борелю на произведении пространств Л х X.
Для некоторых случайных спектров может быть определена функция мощности s
(X). Если спектры являются счетными точечными множествами на
действительной прямой, такими, что математическое ожидание числа
собственных значений в любом заданном интервале (а,|3) существует и равно
F (Р) - F (а), где F (х) - дифференцируемая функция, то производная F'
(я) называется функцией мощности в силу ее интерпретации в терминах
квантовой механики. Мы вернемся к этому понятию в разд. 7.5.3.
Теперь мы можем пойти дальше и изучить другие величины, связанные со
случайными спектрами. Так, спектральный радиус
г (х) = sup ] Л, |, яеэ
или, что эквивалентно,
r(x) = lim || х" j|1/n,
п-*со
есть вполне определенная случайная величина. Простейший способ убедиться
в этом состоит, пожалуй, в замечании, что || хи ||1/п является случайной
величиной для любого конечного п, и, как известно, эти случайные величины
сходятся при любом х ? X.
Это приводит нас к соответствующей проблеме для произведений случайных
элементов в банаховой алгебре. Предположим, что хи х2, . . хп -
независимые и одинаково распределенные случайные элементы в X, и образуем
произведение
Уп = *1*2 ... Хп.
7.2. Вероятности на банаховых алгебрах
199
Что можно сказать о норме произведения || уЛ Для больших значений п (см.
замечания 7.2.3)?
Теорема 7.2.2. Предположим, что *ь *2, . ¦ ¦ , хп - независимые и
одинаково распределенные случайные элементы и Е log+ || Xi || < оо. Тогда
предел
существует и -оо < г <; оо. Если г ф -оо, то почти наверное
Доказательство. Рассмотрим последователь-
Либо все ап конечны, либо все они равны -оо, начиная с некоторого п0. В
первом случае можно использовать свойство полуаддитивности
ап+т = Е log j! *i*2 ... Хп+т || < Е log {j| *i ... хп [| • [j хп+1 ...
.. ¦ Хп+т 11} = Е log || *! ... *"|| +
+ Е log || xn+i . . . хп+т || = ап + ат
и тот факт, что (1 /п)ап имеет предел (см. замечания 7.2.3). Этим
доказано первое утверждение. Для завершения доказательства введем
величины
г - lim - Е log || XiX2 ... хп ||
r = lim -log i|*i*2 ••• *7i 11 *
ность
an = Elog||*1*2 . .. xn
In = - log || *1*2 ... xn ||.
Если n имеет вид г = v|x, то
